Calcule demonstrando matematicamente passo a passo e pela definição, o valor médio da corrente no diodo \mathrm{D}_{2}.

Passo 1

O enunciado pede: “Calcule demonstrando matematicamente passo a passo e pela definição, o valor médio da corrente no diodo \mathrm{D}_{2}.”
Informações explicitamente fornecidas pelo usuário: apenas essa frase.
Informações relevantes que faltam (que são necessárias para resolver numericamente e explicitamente o problema): a figura do circuito com a posição/orientação de \mathrm{D}_{2}, a forma de onda da(s) fonte(s) (ex.: tensão contínua, senoidal, pulso etc.), os valores dos elementos do circuito (resistores, fontes, cargas), e qual modelo do diodo usar (ideal, com tensão de limiar \,V_D, ou modelo linearizado).
Observação importante: sem a figura do circuito e/ou a descrição matemática da onda e dos componentes é impossível calcular numericamente o valor médio de i_{D2}(t). A resolução que vem a seguir mostra a definição exigida, o procedimento geral e exemplos didáticos (úteis na prova) que você pode aplicar assim que tiver os dados do enunciado.

Passo 2

Definição matemática do valor médio (média temporal) de uma corrente periódica.
Se i_{D2}(t) é uma função periódica de período T, então o valor médio (média no tempo) de i_{D2} é dado por:
\overline{i}_{D2}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} i_{D2}(t)\,dt.
Explicação das variáveis: \overline{i}_{D2} é o valor médio desejado, T é o período da função, e i_{D2}(t) é a corrente instante-a-instante pelo diodo. Esta fórmula é a “definição” de média temporal periódica. Se a corrente não for periódica, a definição análoga em um intervalo [t_0,t_0+T] é \frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} i_{D2}(t)\,dt.

Passo 3

Como obter i_{D2}(t) a partir do circuito (passo conceitual — o que você faz numa prova).
  1. Identifique os elementos conectados ao diodo \mathrm{D}_{2}: fonte(s), resistor(es), outras malhas.
  2. Escolha um modelo de diodo: modelo ideal (conduz sem queda quando polarizado diretamente, corrente zero quando reverso) ou modelo com queda de tensão \,V_D (por exemplo 0{,}7\\ \mathrm{V} para diodo de silício). Para provas, muitas vezes usa-se o modelo ideal ou o modelo com queda constante.
  3. Determine as condições de condução (intervalos de tempo em que o diodo está ligado): tipicamente isso vem de uma desigualdade do tipo v_{\text{ânodo}}(t) - v_{\text{cátodo}}(t) > V_Dâá (para modelo com queda) ou >0 (modelo ideal). Essas desigualdades definem os instantes t_1,t_2,\ldots de comutação.
  4. Em cada intervalo onde o diodo conduz, escreva a lei de Kirchhoff/Lei de Ohm para achar i_{D2}(t) (por exemplo, se conduzir em série com um resistor R e tiver tensão aplicada v_s(t), muitas vezes surge i_{D2}(t)=\dfrac{v_s(t)-V_D}{R} ou i_{D2}(t)=\dfrac{v_s(t)}{R} no modelo ideal). Em intervalos onde não conduz, i_{D2}(t)=0.
  5. Por fim aplique a definição da média integrando a função por partes (somando integrais sobre os intervalos de condução).

Passo 4

Expressão geral para média quando o diodo conduz apenas em certos subintervalos.
Suponha que o período seja T e que o diodo conduza somente nos intervalos [t_1,t_2],[t_3,t_4],\dots dentro de um período, e seja zero nos demais. Então
\overline{i}_{D2}=\frac{1}{T}\left(\int_{t_1}^{t_2} i_{D2}(t)\,dt+\int_{t_3}^{t_4} i_{D2}(t)\,dt+\cdots\right).
Cada integral é calculada substituindo a expressão de i_{D2}(t) válida naquele intervalo (por exemplo i_{D2}(t)=\dfrac{v_{\text{eq}}(t)-V_D}{R} ou i_{D2}(t)=0).

Passo 5

Exemplo didático típico (meio onda retificada, modelo ideal) — passo a passo para fixar a técnica. (Isto é um exemplo ilustrativo — não é a resolução do seu enunciado específico, que falta a figura.)
Considere uma fonte senoidal v_s(t)=V_m\sin(\omega t) aplicada a um diodo ideal em série com resistor R (meio-onda). O diodo conduz quando v_s(t)>0, ou seja para \omega t em (0,\pi) por cada período 2\pi. O período é T=\dfrac{2\pi}{\omega}. A corrente no diodo (quando conduz) é
i_{D}(t)=\frac{V_m\sin(\omega t)}{R}.
Quando não conduz, i_{D}(t)=0. Então a média em um período é
\overline{i}_D=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} i_D(t)\,dt=\frac{1}{T}\int_{0}^{\pi/\omega}\frac{V_m\sin(\omega t)}{R}\,dt.
Calcule a integral: mude variável \theta=\omega t, então dt=d\theta/\omega, os limites vão de \theta=0 a \theta=\pi. Assim
\overline{i}_D=\frac{1}{T}\cdot\frac{V_m}{R}\int_{0}^{\pi/\omega}\sin(\omega t)\,dt
\overline{i}_D=\frac{1}{T}\cdot\frac{V_m}{R}\cdot\frac{1}{\omega}\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta.
Como T=\dfrac{2\pi}{\omega} temos \dfrac{1}{T}\cdot\dfrac{1}{\omega}=\dfrac{1}{2\pi}. Então
\overline{i}_D=\frac{V_m}{2\pi R}\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta.
A integral é \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta=2. Portanto
\overline{i}_D=\frac{V_m}{2\pi R}\cdot 2=\frac{V_m}{\pi R}.
Interpretação: para meio-onda ideal, o valor médio da corrente no diodo é \dfrac{V_m}{\pi R}. Este exemplo mostra claramente como aplicar a definição via identificação de intervalos de condução, expressão de i(t), mudança de variável e cálculo da integral.

Passo 6

Exemplo com queda de diodo constante V_D (modelo mais realista).
Se agora o diodo tem queda V_D e a fonte é v_s(t)=V_m\sin(\omega t), o diodo conduz quando V_m\sin(\omega t)>V_D. Defina o ângulo de condução \theta_0 tal que \sin\theta_0=\dfrac{V_D}{V_m}. Então a condução ocorre para \theta\in(\theta_0,\pi-\theta_0) e a corrente instantânea é
i_D(t)=\frac{V_m\sin(\omega t)-V_D}{R}.
A média é
\overline{i}_D=\frac{\omega}{2\pi}\int_{\theta_0}^{\pi-\theta_0}\frac{V_m\sin\theta-V_D}{R}\,\frac{d\theta}{\omega}=\frac{1}{2\pi R}\int_{\theta_0}^{\pi-\theta_0}\left(V_m\sin\theta-V_D\right)d\theta.
Calcule separadamente as integrais:
\int_{\theta_0}^{\pi-\theta_0}V_m\sin\theta\,d\theta=V_m\left[-\cos\theta\right]_{\theta_0}^{\pi-\theta_0}=V_m\bigl(-\cos(\pi-\theta_0)+\cos\theta_0\bigr)=V_m\bigl(\cos\theta_0+\cos\theta_0\bigr)=2V_m\cos\theta_0.
E
\int_{\theta_0}^{\pi-\theta_0}V_D\,d\theta=V_D\bigl(\pi-2\theta_0\bigr).
Portanto
\overline{i}_D=\frac{1}{2\pi R}\left(2V_m\cos\theta_0 - V_D(\pi-2\theta_0)\right).
Lembrando que \cos\theta_0=\sqrt{1-\sin^2\theta_0}=\sqrt{1-(V_D/V_m)^2}, obtemos uma expressão em função de V_m,V_D,R. Este procedimento ilustra como tratar uma queda de diodo finita — primeiramente achar os ângulos de condução da desigualdade, depois integrar a expressão de corrente sobre esse intervalo.

Passo 7

Resumo prático do procedimento que você deve aplicar ao enunciado real do professor (passos que você faria na prova):
  1. Tenha o circuito/figura e identifique polaridades e conexões de \mathrm{D}_{2}.
  2. Determine a forma matemática da(s) fonte(s) e o período T.
  3. Escolha modelo do diodo (ideal ou com V_D).
  4. Encontre os instantes ou ângulos de início/fim de condução pela desigualdade entre tensões.
  5. Escreva i_{D2}(t) em cada intervalo (por exemplo 0 quando bloqueado, (v_{\text{eq}}(t)-V_D)/R quando conduz).
  6. Calcule \overline{i}_{D2}=\dfrac{1}{T}\int_{0}^{T} i_{D2}(t)\,dt fazendo a integral por partes (somando integrais apenas nos intervalos em que i_{D2}(t)\neq0).
  7. Simplifique a expressão e substitua valores numéricos se houverem dados.

Passo 8

Observação final e incentivo. Eu não inventei nem assumi uma figura porque isso poderia dar uma resposta errada para o seu enunciado real. Assim que você tiver a figura do circuito (ou os dados: forma de onda, valores de R, V_m, V_D, polaridades), siga os passos acima — ou me envie esses dados que eu faço o cálculo detalhado para você. Você consegue — vamos com calma que a técnica é sempre a mesma: identificar condução, escrever i(t), integrar pela definição.

Resposta

Não é possível determinar numericamente o valor médio de i_{D2} porque o enunciado não forneceu a figura do circuito, a forma da(s) fonte(s) nem os valores dos componentes; pela definição, de modo geral \displaystyle \overline{i}_{D2}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} i_{D2}(t)\,dt, e o procedimento completo foi descrito nos passos acima.

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