Projete um controlador do tipo PI para um sistema de realimentação unitária e
de forma que: o erro estacionário seja nulo para entrada degrau; e o coeficiente de amortecimento zeta
permaneça inalterado antes e após a compensação. Especificamente para este projeto, escolha a posição do zero do PI no intervalo do eixo real:
. Ao final do projeto, submeta um arquivo PDF contendo: - A posição escolhida para o zero do controlador PI (conforme enunciado); - O valor do ganho K da função G(s); - Os parâmetros kp e ki do controlador PI projetado; - O diagrama LR do sistema após a compensação; - As curvas das respostas ao degrau unitário para o sistema pré e pós-compensação; e - Os tempos de acomodação observados antes e após a compensação.
Passo 1
O enunciado pede que eu projete um controlador PI para um sistema em realimentação unitária com planta
de modo que:
- o erro estacionário para entrada degrau seja nulo;
- o coeficiente de amortecimento
permaneça inalterado antes e após a compensação; - a posição do zero do PI satisfaça
(ou seja, o zero deve ficar no intervalo ).
Informações relevantes dadas:
- Planta:
. - Malha unitária (realimentação unitária).
- Desejo
para degrau (então o controlador deve introduzir um integrador — isto requer um PI). - Desejo que o amortecimento
dos pólos complexos “permaneça inalterado” antes e depois da compensação. - Restrição do zero do PI: escolher um
no intervalo . - Não foi dado K numérico — preciso determinar
compatível com no sistema sem compensador.
Passo 2
Estratégia (explicada passo a passo e sem pular etapas):
- Primeiro vou achar o valor de
que faz com que o sistema sem compensação (com realimentação unitária) tenha coeficiente de amortecimento nos pólos dominantes. Isso porque o enunciado pede que permaneça inalterado antes e após a compensação — então é natural fixar para obter esse no sistema original. - Depois eu adiciono um controlador PI da forma
onde é a posição positiva do zero (o zero está em ). A restrição do enunciado é que esteja em , ou seja . - Vou escolher um valor de
(ou seja ) que está dentro do intervalo pedido. Motivação curta e prática: meio do intervalo, evitar extremos, e facilita números. Depois calculo e exigindo que os pólos complexos do sistema compensado mantenham . Para isso faço o casamento de polinômios (forço o polinômio característica pós-compensação a ter um fator quadrático com amortecimento ). - Explico cada fórmula, calculemos os parâmetros, encontre os pólos fechados após compensação, calcule tempos de acomodação e compare respostas ao degrau pré e pós-compensação.
Antes de começar a resolver, relembro duas fórmulas úteis (com explicação):
- Para um polinômio quadrático padrão de segunda ordem
, o coeficiente controla a parte real dos pólos e é a frequência natural; a razão de amortecimento é . - Tempo de acomodação (critério 2%, sistema subamortecido):
. Isto vem da aproximação do decaimento exponencial da envoltória . - Para erro estático a degrau: se a malha em laço fechado é unitária, o erro em regime permanente para degrau é
em sistemas tipo 0, onde ; com integrador no controlador (tipo ≥1) tem-se .
Passo 3
Encontrar
para que o sistema sem compensador tenha
.
Sistema sem compensador em malha unitária: equação característica
ou equivalentemente
Comparando com
obtemos
Com
calculo primeiro
:
Logo
Então
Arredondando sensatamente:
Comentário didático: escolhemos
para que o sistema sem compensação tenha exatamente o par de pólos conjugados com
e
calculados acima.
Passo 4
Escolha do zero do PI e forma do controlador
- Escolho a posição do zero do PI no meio do intervalo pedido:
. Assim - O controlador PI escrito na forma fatorizada:
- A presença do denominador
introduz o integrador necessário para garantir para degrau.
Passo 5
Determinação de
e
impondo que o par complexo fechado pós-compensação mantenha
Característica do sistema compensado (malha unitária):
com
Multiplicando em comum denominador, a equação característica pode ser escrita como
Expandindo o primeiro termo:
ou seja
Queremos que esse polinômio contenha um fator quadrático com amortecimento
. Faço a suposição (padrão em projetos por equivalência de coeficientes) de que a característica pode ser escrita como
onde
é o polo real restante e
aqui será a frequência natural do par complexo pós-compensação (não necessariamente igual à
pré-compensação, embora
seja preservado).
Comparando coeficientes obtemos três equações (desenvolvo explicitamente para você):
- coeficiente
: - coeficiente
: - coeficiente independente:
Dessas três equações podemos eliminar
usando a terceira e substituir na segunda, resultando numa equação apenas em
(porque
também pode ser escrito em função de
pela primeira equação). Fazendo as substituições (deixo as manipulações algébricas explicadas):
- da primeira:
. - da terceira:
. - substituindo na segunda:
- substituo
e isolo termos, ficando com um polinômio cúbico em . Com e o polinômio numérico resultante (após organizar termos) é
Agora resolvo numericamente esse cúbico (procedimento padrão: busca numérica / Newton — aqui apresento solução numérica obtida com precisão suficiente para projeto de controle):
- solução positiva relevante:
.
Com
conhecido, calculo:
-
Logo existe um polo real aproximado em. - de (3):
. Calculo: então Como , obtenho - e finalmente
Resumo numérico arredondado com precisão prática:
Comentário didático: eu forcei a presença do fator quadrático com amortecimento
na característica pós-compensação — isso garante que o par complexo mantenha a mesma razão de amortecimento. Como efeito colateral aparece um polo real em
(próximo da origem), que é mais lento do que o par complexo; esse polo real determina o tempo de acomodação do sistema compensado (explico adiante).
Passo 6
Cálculo dos pólos fechados (numérico) e análise rápida do diagrama de polos (LR pós-compensação)
Com os coeficientes do polinômio característica pós-compensação:
as raízes numéricas (calculadas) são aproximadamente:
Verificações:
- Para o par complexo:
e (próximo de dentro de pequenas aproximações numéricas). - Observação crítica: o polo real em
é mais próximo do eixo imaginário do que o par complexo (cuja parte real é ); portanto o modo real lento domina a resposta no tempo longo.
Isto significa que, embora o par complexo tenha
mantido em ≈0,7, a presença do polo real lento faz com que o tempo de acomodação do sistema compensado aumente sensivelmente.
Passo 7
Respostas ao degrau e tempos de acomodação (cálculo numérico)
- Sistema pré-compensação:
- Para o sistema sem compensador com
, já tínhamos e . - Tempo de acomodação (2%) aproximado:
- Overshoot percentual do par equivalente (fórmula padrão para segunda ordem):
Com temos → cerca de . - Erro estacionário para degrau (sistema tipo 0): posição-ganho
. Então Ou seja, erro de regime aproximadamente sem integrador.
- Sistema pós-compensação (com
e zero em ):
- Erro estacionário para degrau: devido ao integrador em
, o sistema é do tipo 1 e temos . - Os pólos fechados aproximados (já calculados):
- O modo dominante é o polo real
(por ser o mais próximo do eixo imaginário). Portanto o tempo de acomodação será aproximadamente determinado por (modo real) e não pelo par complexo. Para um polo real em , o tempo de acomodação (2%) é aproximadamente . Assim: (valor aproximado; usei .) - Conclusão: a compensação (PI com zero em
) zera o erro estático, preserva aproximadamente do par complexo, mas introduz um modo real lento que aumenta bastante o tempo de acomodação.
Passo 8
Como gerar os diagramas (LR) e as curvas de resposta para o PDF solicitado (instruções práticas rápidas)
- Para o diagrama LR (root locus) pós-compensação: plote as raízes do polinômio característica
em função do ganho acumulado (ou mostre a localização dos pólos fechados para o ganho projetado). Ferramenta sugerida: MATLAB/Octave (com comando rlocus) ou Python+control (control.root_locus). No MATLAB: - Defina
com . - Defina
com . - Faça rlocus(GC) e marque o ponto do ganho aplicado; ou calcule roots(feedback(GC,1)).
- Defina
- Para as respostas ao degrau: simule y(t)=step(feedback(G,1)) antes e y_c(t)=step(feedback(G*C,1)) depois. Exporte os gráficos para PNG/PDF e inclua no PDF.
- No PDF inclua:
- Posição do zero escolhida:
. - Valor de
. - Valores de
e . - Diagrama LR (imagem contendo pólos zeros originais e fechados).
- Gráficos de resposta ao degrau pré e pós (em mesma figura ou figuras separadas).
- Tabelinha com tempos de acomodação e erros estacionários.
- Posição do zero escolhida:
Resposta
Posição do zero do PI escolhida:
Valor do ganho da planta:
Parâmetros do controlador PI projetado:
Diagrama LR / pólos do sistema após compensação (valores aproximados dos pólos em malha fechada):
Curvas de resposta ao degrau (descrição): pré-compensação — subamortecido com ,
,
e
; pós-compensação — erro estacionário zero (
), resposta com modo real lento dominante e os pólos complexos com
.
Tempos de acomodação (2%):
Valor do ganho da planta:
Parâmetros do controlador PI projetado:
Diagrama LR / pólos do sistema após compensação (valores aproximados dos pólos em malha fechada):
Curvas de resposta ao degrau (descrição): pré-compensação — subamortecido com
Tempos de acomodação (2%):