Projete um controlador do tipo PI para um sistema de realimentação unitária e G(s)=K /\left[(s+1)^{*}(s+4)\right] de forma que: o erro estacionário seja nulo para entrada degrau; e o coeficiente de amortecimento zeta =0,7 permaneça inalterado antes e após a compensação. Especificamente para este projeto, escolha a posição do zero do PI no intervalo do eixo real: -0,25 \leq(-\mathrm{ki} / \mathrm{kp}) \leq-0,10. Ao final do projeto, submeta um arquivo PDF contendo: - A posição escolhida para o zero do controlador PI (conforme enunciado); - O valor do ganho K da função G(s); - Os parâmetros kp e ki do controlador PI projetado; - O diagrama LR do sistema após a compensação; - As curvas das respostas ao degrau unitário para o sistema pré e pós-compensação; e - Os tempos de acomodação observados antes e após a compensação.

Passo 1

O enunciado pede que eu projete um controlador PI para um sistema em realimentação unitária com planta
G(s)=\frac{K}{(s+1)(s+4)}
de modo que:
  • o erro estacionário para entrada degrau seja nulo;
  • o coeficiente de amortecimento \zeta=0,7 permaneça inalterado antes e após a compensação;
  • a posição do zero do PI satisfaça -0{,}25 \le -\dfrac{k_i}{k_p} \le -0{,}10 (ou seja, o zero s_z=-k_i/k_p deve ficar no intervalo [-0{,}25,-0{,}10]).
Informações relevantes dadas:
  • Planta: \displaystyle G(s)=\dfrac{K}{(s+1)(s+4)}.
  • Malha unitária (realimentação unitária).
  • Desejo e_{ss}=0 para degrau (então o controlador deve introduzir um integrador — isto requer um PI).
  • Desejo que o amortecimento \zeta=0{,}7 dos pólos complexos “permaneça inalterado” antes e depois da compensação.
  • Restrição do zero do PI: escolher um s_z no intervalo [-0{,}25,-0{,}10].
  • Não foi dado K numérico — preciso determinar K compatível com \zeta=0{,}7 no sistema sem compensador.

Passo 2

Estratégia (explicada passo a passo e sem pular etapas):
  • Primeiro vou achar o valor de K que faz com que o sistema sem compensação (com realimentação unitária) tenha coeficiente de amortecimento \zeta=0{,}7 nos pólos dominantes. Isso porque o enunciado pede que \zeta=0{,}7 permaneça inalterado antes e após a compensação — então é natural fixar K para obter esse \zeta no sistema original.
  • Depois eu adiciono um controlador PI da forma C(s)=k_p + \frac{k_i}{s}=k_p\frac{s+z_c}{s},onde z_c=\dfrac{k_i}{k_p} é a posição positiva do zero (o zero está em s=-z_c). A restrição do enunciado é que -z_c esteja em [-0{,}25,-0{,}10], ou seja z_c\in[0{,}10,0{,}25].
  • Vou escolher um valor de s_z=-0{,}20 (ou seja z_c=0{,}20) que está dentro do intervalo pedido. Motivação curta e prática: meio do intervalo, evitar extremos, e facilita números. Depois calculo k_p e k_i=k_p z_c exigindo que os pólos complexos do sistema compensado mantenham \zeta=0{,}7. Para isso faço o casamento de polinômios (forço o polinômio característica pós-compensação a ter um fator quadrático com amortecimento \zeta=0{,}7).
  • Explico cada fórmula, calculemos os parâmetros, encontre os pólos fechados após compensação, calcule tempos de acomodação e compare respostas ao degrau pré e pós-compensação.
Antes de começar a resolver, relembro duas fórmulas úteis (com explicação):
  • Para um polinômio quadrático padrão de segunda ordem \;s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2\;, o coeficiente 2\zeta\omega_n controla a parte real dos pólos e \omega_n é a frequência natural; a razão de amortecimento é \zeta.
  • Tempo de acomodação (critério 2%, sistema subamortecido): \displaystyle T_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}. Isto vem da aproximação do decaimento exponencial da envoltória \exp(-\zeta\omega_n t).
  • Para erro estático a degrau: se a malha em laço fechado é unitária, o erro em regime permanente para degrau é e_{ss} = \frac{1}{1+K_p} em sistemas tipo 0, onde K_p = \lim_{s\to0} G(s); com integrador no controlador (tipo ≥1) tem-se e_{ss}=0.

Passo 3

Encontrar K para que o sistema sem compensador tenha \zeta=0{,}7.
Sistema sem compensador em malha unitária: equação característica
1+G(s)=1+\frac{K}{(s+1)(s+4)}=0
ou equivalentemente
(s+1)(s+4)+K=0 \;\Longrightarrow\; s^2 + 5s + (4+K) = 0.
Comparando com \;s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2\; obtemos
2\zeta\omega_n = 5,\qquad \omega_n^2 = 4+K.
Com \zeta=0{,}7 calculo primeiro \omega_n:
\omega_n = \frac{5}{2\zeta} = \frac{5}{1{,}4} = 3{,}571428571\ldots
Logo
\omega_n^2 = 3{,}571428571^2 \approx 12{,}75510204.
Então
4+K = \omega_n^2 \quad\Rightarrow\quad K = \omega_n^2 - 4 \approx 12{,}75510204 - 4 = 8{,}75510204.
Arredondando sensatamente:
\boxed{K\approx 8{,}7551.}
Comentário didático: escolhemos K para que o sistema sem compensação tenha exatamente o par de pólos conjugados com \zeta=0{,}7 e \omega_n calculados acima.

Passo 4

Escolha do zero do PI e forma do controlador
  • Escolho a posição do zero do PI no meio do intervalo pedido: s_z=-0{,}20. Assim z_c=\frac{k_i}{k_p}=0{,}20.
  • O controlador PI escrito na forma fatorizada: C(s)=k_p\frac{s+z_c}{s} = k_p \frac{s+0{,}20}{s}.
  • A presença do denominador s introduz o integrador necessário para garantir e_{ss}=0 para degrau.

Passo 5

Determinação de k_p e k_i impondo que o par complexo fechado pós-compensação mantenha \zeta=0{,}7
Característica do sistema compensado (malha unitária):
1 + G(s)C(s)=0
com
G(s)C(s)=\frac{K}{(s+1)(s+4)}\cdot k_p\frac{s+z_c}{s}.
Multiplicando em comum denominador, a equação característica pode ser escrita como
s(s+1)(s+4) + K k_p (s+z_c) = 0.
Expandindo o primeiro termo:
s^3 + 5 s^2 + 4 s + K k_p s + K k_p z_c = 0,
ou seja
s^3 + 5 s^2 + \bigl(4 + K k_p\bigr)s + K k_p z_c = 0.
Queremos que esse polinômio contenha um fator quadrático com amortecimento \zeta=0{,}7. Faço a suposição (padrão em projetos por equivalência de coeficientes) de que a característica pode ser escrita como
\bigl(s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2\bigr)\,(s + p)= s^3 + 5 s^2 + \bigl(4 + K k_p\bigr)s + K k_p z_c,
onde p é o polo real restante e \omega_n aqui será a frequência natural do par complexo pós-compensação (não necessariamente igual à \omega_n pré-compensação, embora \zeta seja preservado).
Comparando coeficientes obtemos três equações (desenvolvo explicitamente para você):
  • coeficiente s^2: p + 2\zeta\omega_n = 5.
  • coeficiente s^1: 2\zeta\omega_n p + \omega_n^2 = 4 + K k_p.
  • coeficiente independente: \omega_n^2 p = K k_p z_c.
Dessas três equações podemos eliminar k_p usando a terceira e substituir na segunda, resultando numa equação apenas em \omega_n (porque p também pode ser escrito em função de \omega_n pela primeira equação). Fazendo as substituições (deixo as manipulações algébricas explicadas):
  • da primeira: p = 5 - 2\zeta \omega_n.
  • da terceira: K k_p = \dfrac{\omega_n^2 p}{z_c}.
  • substituindo na segunda: 2\zeta\omega_n p + \omega_n^2 = 4 + \frac{\omega_n^2 p}{z_c}.
  • substituo p=5-2\zeta\omega_n e isolo termos, ficando com um polinômio cúbico em \omega_n. Com \zeta=0{,}7 e z_c=0{,}20 o polinômio numérico resultante (após organizar termos) é 7\omega_n^3 - 25{,}96\,\omega_n^2 + 7\omega_n - 4 = 0.
Agora resolvo numericamente esse cúbico (procedimento padrão: busca numérica / Newton — aqui apresento solução numérica obtida com precisão suficiente para projeto de controle):
  • solução positiva relevante: \omega_n \approx 3{,}4650.
Com \omega_n conhecido, calculo:
  • p = 5 - 2\zeta\omega_n = 5 - 1{,}4\cdot 3{,}4650 \approx 0{,}1489.
    Logo existe um polo real aproximado em s\approx -0{,}1489.
  • de (3): K k_p = \dfrac{\omega_n^2 p}{z_c}. Calculo: \omega_n^2 \approx 3{,}4650^2 \approx 12{,}0096,então K k_p \approx \frac{12{,}0096\cdot 0{,}1489}{0{,}20} \approx 8{,}9399.Como K\approx 8{,}7551, obtenho k_p \approx \frac{8{,}9399}{8{,}7551} \approx 1{,}021.
  • e finalmente k_i = k_p z_c \approx 1{,}021 \times 0{,}20 \approx 0{,}2042.
Resumo numérico arredondado com precisão prática:
\boxed{k_p \approx 1{,}021,\qquad k_i \approx 0{,}204.}
Comentário didático: eu forcei a presença do fator quadrático com amortecimento \zeta=0{,}7 na característica pós-compensação — isso garante que o par complexo mantenha a mesma razão de amortecimento. Como efeito colateral aparece um polo real em s\approx -0{,}149 (próximo da origem), que é mais lento do que o par complexo; esse polo real determina o tempo de acomodação do sistema compensado (explico adiante).

Passo 6

Cálculo dos pólos fechados (numérico) e análise rápida do diagrama de polos (LR pós-compensação)
Com os coeficientes do polinômio característica pós-compensação:
s^3 + 5 s^2 + (4 + K k_p) s + K k_p z_c \approx s^3 + 5 s^2 + 12{,}9399 s + 1{,}78798,
as raízes numéricas (calculadas) são aproximadamente:
s_1 \approx -0{,}146\quad(\text{real}),
s_{2,3} \approx -2{,}427 \pm j\,2{,}518\quad(\text{par complexo}).
Verificações:
  • Para o par complexo: \omega_n \approx \sqrt{(-2{,}427)^2 + (2{,}518)^2} \approx 3{,}50 e \zeta \approx \dfrac{2{,}427}{3{,}50}\approx 0{,}694 (próximo de 0{,}7 dentro de pequenas aproximações numéricas).
  • Observação crítica: o polo real em -0{,}146 é mais próximo do eixo imaginário do que o par complexo (cuja parte real é -2{,}427); portanto o modo real lento domina a resposta no tempo longo.
Isto significa que, embora o par complexo tenha \zeta mantido em ≈0,7, a presença do polo real lento faz com que o tempo de acomodação do sistema compensado aumente sensivelmente.

Passo 7

Respostas ao degrau e tempos de acomodação (cálculo numérico)
  1. Sistema pré-compensação:
  • Para o sistema sem compensador com K\approx 8{,}7551, já tínhamos \zeta=0{,}7 e \omega_n \approx 3{,}5714.
  • Tempo de acomodação (2%) aproximado: T_{s,\text{pré}} \approx \frac{4}{\zeta \omega_n} = \frac{4}{0{,}7\cdot 3{,}5714} = \frac{4}{2{,}5} = 1{,}6\\ \text{s}.é
  • Overshoot percentual do par equivalente (fórmula padrão para segunda ordem): M_p = e^{-\frac{\pi \zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}.Com \zeta=0{,}7 temos M_p \approx e^{- \pi\cdot 0{,}7/0{,}7143}\approx e^{-3{,}079}\approx 0{,}046 → cerca de 4{,}6\%.
  • Erro estacionário para degrau (sistema tipo 0): posição-ganho K_p = \lim_{s\to0} G(s) = \dfrac{K}{1\cdot 4} = \dfrac{K}{4}. Então K_p = \frac{8{,}7551}{4} \approx 2{,}1888,\qquad e_{ss,\text{pré}} = \frac{1}{1+K_p} \approx \frac{1}{1+2{,}1888}\approx 0{,}3137.éOu seja, erro de regime aproximadamente 31{,}4\% sem integrador.
  1. Sistema pós-compensação (com k_p\approx1{,}021,\; k_i\approx0{,}204 e zero em -0{,}20):
  • Erro estacionário para degrau: devido ao integrador em C(s), o sistema é do tipo 1 e temos e_{ss,\text{pós}}=0ó.
  • Os pólos fechados aproximados (já calculados): s_1 \approx -0{,}146,\qquad s_{2,3}\approx -2{,}427\pm j\,2{,}518.
  • O modo dominante é o polo real s_1 (por ser o mais próximo do eixo imaginário). Portanto o tempo de acomodação será aproximadamente determinado por s_1 (modo real) e não pelo par complexo. Para um polo real em -\alpha, o tempo de acomodação (2%) é aproximadamente T_s\approx 4/\alpha. Assim: T_{s,\text{pós}} \approx \frac{4}{0{,}146} \approx 27{,}4\\ \text{s}.ó(valor aproximado; usei \alpha\approx 0{,}146.)
  • Conclusão: a compensação (PI com zero em -0{,}20) zera o erro estático, preserva aproximadamente \zeta do par complexo, mas introduz um modo real lento que aumenta bastante o tempo de acomodação.

Passo 8

Como gerar os diagramas (LR) e as curvas de resposta para o PDF solicitado (instruções práticas rápidas)
  • Para o diagrama LR (root locus) pós-compensação: plote as raízes do polinômio característica 1+G(s)C(s)=0 em função do ganho acumulado (ou mostre a localização dos pólos fechados para o ganho projetado). Ferramenta sugerida: MATLAB/Octave (com comando rlocus) ou Python+control (control.root_locus). No MATLAB:
    • Defina G(s)=K/((s+1)(s+4)) com K=8.7551.
    • Defina C(s)=k_p*(s+0.20)/s com k_p=1.021.
    • Faça rlocus(GC) e marque o ponto do ganho aplicado; ou calcule roots(feedback(GC,1)).
  • Para as respostas ao degrau: simule y(t)=step(feedback(G,1)) antes e y_c(t)=step(feedback(G*C,1)) depois. Exporte os gráficos para PNG/PDF e inclua no PDF.
  • No PDF inclua:
    • Posição do zero escolhida: -0{,}20.
    • Valor de K.
    • Valores de k_p e k_i.
    • Diagrama LR (imagem contendo pólos zeros originais e fechados).
    • Gráficos de resposta ao degrau pré e pós (em mesma figura ou figuras separadas).
    • Tabelinha com tempos de acomodação e erros estacionários.

Resposta

Posição do zero do PI escolhida: s_z = -0{,}20.
Valor do ganho da planta: K \approx 8{,}7551.
Parâmetros do controlador PI projetado: k_p \approx 1{,}021,\quad k_i \approx 0{,}204.
Diagrama LR / pólos do sistema após compensação (valores aproximados dos pólos em malha fechada): s_1 \approx -0{,}146,\quad s_{2,3}\approx -2{,}427 \pm j\,2{,}518.
Curvas de resposta ao degrau (descrição): pré-compensação — subamortecido com \zeta=0{,}7, \omega_n\approx 3{,}571, M_p\approx 4{,}6\% e e_{ss,\text{pré}}\approx 0{,}3137é; pós-compensação — erro estacionário zero ( e_{ss,\text{pós}}=0ó), resposta com modo real lento dominante e os pólos complexos com \zeta\approx 0{,}7.
Tempos de acomodação (2%): T_{s,\text{pré}}\approx 1{,}6\\ \text{s},\quad T_{s,\text{pós}}\approx 27{,}4\\ \text{s}.éó

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