Calcule a densidade atômica planar em átomos / mm^2 para os seguintes planos cristalinos do cromo CCC, o qual tem um parâmetro de rede de 0,28846 nm :
(a) (100) (b) (110) © (111)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a densidade atômica planar para os planos cristalinos (100), (110) e (111) do cromo, que tem uma estrutura cúbica de corpo centrado (CCC) com um parâmetro de rede de $ a = 0,28846 $ nm. A densidade atômica planar é basicamente quantos átomos estão presentes por unidade de área em um determinado plano cristalino. Para isso, vamos precisar entender a disposição dos átomos em cada plano e calcular a área desse plano na rede cristalina.

Passo 2

Parte (a) - Plano (100)

Primeiro, vamos analisar o plano (100) na estrutura CCC. No plano (100):
  • Há átomos nos quatro cantos do quadrado.
  • E há um átomo no centro do quadrado.
Como cada átomo nos cantos é compartilhado com outros três cubos adjacentes, cada átomo de canto contribui com $ \frac{1}{4} $ do átomo para o plano em questão. Já o átomo central pertence totalmente ao plano.
Então, o número total de átomos por plano (100) é:
14
Agora, vamos calcular a área do plano (100). O plano é um quadrado com lado igual ao parâmetro de rede $ a $, então:
N(100) = 4 times 14 + 1 = 2
Por fim, a densidade atômica planar é:
a á

Passo 3

Parte (b) - Plano (110)

Agora, vamos para o plano (110) na estrutura CCC. No plano (110):
  • Há átomos nos dois cantos principais e dois cantos secundários.
  • E há átomos no meio das arestas.
Considerando a contribuição compartilhada:
  • Cada átomo de canto principal contribui com $ \frac{1}{2} $.
  • Cada átomo de aresta contribui com $ \frac{1}{4} $.
Calculando o número total de átomos:
12
A área do plano (110) pode ser calculada como:
14
Então, a densidade atômica planar é:
N(110) = 2 times 12 + 2 times 14 + 2 = 1 + 0,5 + 2 = 3,5 á

Passo 4

Parte © - Plano (111)

Por último, vamos analisar o plano (111) na estrutura CCC. No plano (111):
  • Há átomos nos três cantos do triângulo.
  • E há um átomo no centro do triângulo.
Cada átomo de canto contribui com $ \frac{1}{3} $ do átomo para o plano, e o átomo central pertence totalmente ao plano.
Calculando o número total de átomos:
13
A área do plano (111), que é um triângulo equilátero, é:
N(111) = 3 times 13 + 1 = 1 + 1 = 2
Então, a densidade atômica planar é:
A(111) = raiz34 a^2 = 1,7324 times (0,28846)^2 approx 0,0365 , nm^2 á

Resposta

As densidades atômicas planares para os planos cristalinos do cromo CCC são:
a) rho(100) approx 24,04 , átomos/nm^2á
b) rho(110) approx 29,75 , átomos/nm^2á
c) rho(111) approx 54,79 , átomos/nm^2á

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