Calcule a densidade atômica planar em átomos
para os seguintes planos cristalinos do cromo CCC, o qual tem um parâmetro de rede de
:
(a) (100) (b) (110) © (111)
(a) (100) (b) (110) © (111)
Passo 1
Beleza, vamos calcular a densidade atômica planar para os planos cristalinos (100), (110) e (111) do cromo, que tem uma estrutura cúbica de corpo centrado (CCC) com um parâmetro de rede de $ a = 0,28846 $ nm. A densidade atômica planar é basicamente quantos átomos estão presentes por unidade de área em um determinado plano cristalino. Para isso, vamos precisar entender a disposição dos átomos em cada plano e calcular a área desse plano na rede cristalina.
Passo 2
Parte (a) - Plano (100)
Primeiro, vamos analisar o plano (100) na estrutura CCC. No plano (100):
- Há átomos nos quatro cantos do quadrado.
- E há um átomo no centro do quadrado.
Como cada átomo nos cantos é compartilhado com outros três cubos adjacentes, cada átomo de canto contribui com $ \frac{1}{4} $ do átomo para o plano em questão. Já o átomo central pertence totalmente ao plano.
Então, o número total de átomos por plano (100) é:
Agora, vamos calcular a área do plano (100). O plano é um quadrado com lado igual ao parâmetro de rede $ a $, então:
Por fim, a densidade atômica planar é:
Passo 3
Parte (b) - Plano (110)
Agora, vamos para o plano (110) na estrutura CCC. No plano (110):
- Há átomos nos dois cantos principais e dois cantos secundários.
- E há átomos no meio das arestas.
Considerando a contribuição compartilhada:
- Cada átomo de canto principal contribui com $ \frac{1}{2} $.
- Cada átomo de aresta contribui com $ \frac{1}{4} $.
Calculando o número total de átomos:
A área do plano (110) pode ser calculada como:
Então, a densidade atômica planar é:
Passo 4
Parte © - Plano (111)
Por último, vamos analisar o plano (111) na estrutura CCC. No plano (111):
- Há átomos nos três cantos do triângulo.
- E há um átomo no centro do triângulo.
Cada átomo de canto contribui com $ \frac{1}{3} $ do átomo para o plano, e o átomo central pertence totalmente ao plano.
Calculando o número total de átomos:
A área do plano (111), que é um triângulo equilátero, é:
Então, a densidade atômica planar é:
Resposta
As densidades atômicas planares para os planos cristalinos do cromo CCC são:
a)
b)
c)