Dado um semicondutor intrínseco cuja condutividade a
é de
e a
é de
.
a) Calcule o seu Gap (espaçamento entre bandas) R.
b) Calcule agora a sua condutividade a
. R.
a) Calcule o seu Gap (espaçamento entre bandas) R.
b) Calcule agora a sua condutividade a
Passo 1
Resumo do que o enunciado pede e os dados fornecidos.\n
Dado:\n
\n
\n
Pede-se:\n
a) Calcular o gap (em
).\n
b) Calcular (em
).\n
Observações úteis (já presentes no enunciado): temperaturas estão em graus Celsius — na teoria devemos usar Kelvin para fórmulas térmicas. Não há outras informações (mobilidades, etc.), então precisaremos adotar a aproximação usual explicada no próximo passo.
Dado:\n
Pede-se:\n
a) Calcular o gap
b) Calcular
Observações úteis (já presentes no enunciado): temperaturas estão em graus Celsius — na teoria devemos usar Kelvin para fórmulas térmicas. Não há outras informações (mobilidades, etc.), então precisaremos adotar a aproximação usual explicada no próximo passo.
Passo 2
Modelo físico e simplificação (explicação didática).\n
Para um semicondutor intrínseco a condutividade é proporcional à concentração intrínseca de portadores e às mobilidades:
. A dependência dominante de
com a temperatura é do tipo exponencial:
Para um semicondutor intrínseco a condutividade é proporcional à concentração intrínseca de portadores
onde:\n
é o gap (em
),\n
é a constante de Boltzmann (em
),\n
é a temperatura absoluta em
.\n
Portanto, uma aproximação comum (e suficiente para provas) é assumir que a variação da condutividade com é dominada pelo expoente, i.e.
Portanto, uma aproximação comum (e suficiente para provas) é assumir que a variação da condutividade com
onde
é um prefator que varia fracasmente com
e que vamos desprezar na comparação entre duas temperaturas — isto simplifica bastante a conta e é a hipótese usada para obter o resultado pedido. Vou justificar rapidamente: fatores como
e mobilidades mudam menos abruptamente que a exponencial; em muitos exercícios adotam-se essas simplificações e obtém-se o valor do gap diretamente pela razão das condutividades.
Passo 3
Derivação da fórmula que usamos para obter
a partir de duas medições de
.\n
Se
Se
então, para duas temperaturas
e
,
Tomando logaritmo natural,
Isolando
obtém-se a fórmula prática:
Aqui explico cada símbolo:\n
— condutividades conhecidas nas temperaturas
;\n
— constante de Boltzmann em
, vou usar
;\n
— temperaturas em Kelvin.
Passo 4
Cálculo numérico do gap
.\n
Primeiro converto as temperaturas para Kelvin:\n
Primeiro converto as temperaturas para Kelvin:\n
Valores das condutividades:\n
,
(em
).\n
Calculo a razão e seu logaritmo:\n
Calculo a razão e seu logaritmo:\n
Calculo a diferença dos inversos das temperaturas:\n
Agora aplico a fórmula (usando
):\n
Faço a conta em etapas:\n
Multiplicando:
Arredondando comumente para três casas decimais:
Passo 5
Fórmula e raciocínio para calcular
a
.\n
Usamos a mesma expressão exponencial e o encontrado. Seja
. A relação entre
e
é:
Usamos a mesma expressão exponencial e o
Logo,
Aqui uso
e
(valor calculado no passo anterior).
Passo 6
Cálculo numérico de
.\n
Primeiro calculemos os termos numéricos:\n
Primeiro calculemos os termos numéricos:\n
Multiplicando:
Então
Resposta
a)
\n
b)
b)