Dado um semicondutor intrínseco cuja condutividade a 20^{\circ} \mathrm{C} é de 250(\Omega . \mathrm{m})^{-1} e a 100^{\circ} \mathrm{C} é de 1.100(\Omega . \mathrm{m})^{-1}.
a) Calcule o seu Gap (espaçamento entre bandas) R. 0,349 \mathrm{eV}
b) Calcule agora a sua condutividade a 50^{\circ} \mathrm{C}. R. 474,6(\Omega . \mathrm{m})^{-1}

Passo 1

Resumo do que o enunciado pede e os dados fornecidos.\n
Dado:\n
\sigma(20^\circ\mathrm{C}) = 250\;(\Omega\cdot\mathrm{m})^{-1}\n
\sigma(100^\circ\mathrm{C}) = 1.100\;(\Omega\cdot\mathrm{m})^{-1}\n
Pede-se:\n
a) Calcular o gap \,E_g (em \mathrm{eV}).\n
b) Calcular \sigma(50^\circ\mathrm{C}) (em (\Omega\cdot\mathrm{m})^{-1}).\n
Observações úteis (já presentes no enunciado): temperaturas estão em graus Celsius — na teoria devemos usar Kelvin para fórmulas térmicas. Não há outras informações (mobilidades, etc.), então precisaremos adotar a aproximação usual explicada no próximo passo.

Passo 2

Modelo físico e simplificação (explicação didática).\n
Para um semicondutor intrínseco a condutividade é proporcional à concentração intrínseca de portadores \,n_i e às mobilidades: \sigma \propto n_i(\mu_n+\mu_p). A dependência dominante de \,n_i com a temperatura é do tipo exponencial:
n_i \propto \exp\!\left(-\frac{E_g}{2k_B T}\right),
onde:\n
\,E_g é o gap (em \mathrm{eV}),\n
\,k_B é a constante de Boltzmann (em \mathrm{eV/K}),\n
\,T é a temperatura absoluta em \mathrm{K}.\n
Portanto, uma aproximação comum (e suficiente para provas) é assumir que a variação da condutividade com T é dominada pelo expoente, i.e.
\sigma(T) \approx A \exp\!\left(-\frac{E_g}{2k_B T}\right),
onde A é um prefator que varia fracasmente com T e que vamos desprezar na comparação entre duas temperaturas — isto simplifica bastante a conta e é a hipótese usada para obter o resultado pedido. Vou justificar rapidamente: fatores como T^{3/2} e mobilidades mudam menos abruptamente que a exponencial; em muitos exercícios adotam-se essas simplificações e obtém-se o valor do gap diretamente pela razão das condutividades.

Passo 3

Derivação da fórmula que usamos para obter E_g a partir de duas medições de \sigma.\n
Se
\sigma(T) = A \exp\!\left(-\frac{E_g}{2k_B T}\right),
então, para duas temperaturas T_1 e T_2,
\frac{\sigma(T_2)}{\sigma(T_1)} = \exp\!\left(-\frac{E_g}{2k_B}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right)\right).
Tomando logaritmo natural,
\ln\!\left(\frac{\sigma(T_2)}{\sigma(T_1)}\right) = -\frac{E_g}{2k_B}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right).
Isolando E_g obtém-se a fórmula prática:
E_g = -2k_B\;\frac{\ln\!\left(\dfrac{\sigma(T_2)}{\sigma(T_1)}\right)}{\left(\dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_1}\right)}.
Aqui explico cada símbolo:\n
\sigma(T_1),\sigma(T_2) — condutividades conhecidas nas temperaturas T_1,T_2;\n
\,k_B — constante de Boltzmann em \mathrm{eV/K}, vou usar \,k_B = 8,617\times10^{-5}\\ \mathrm{eV/K};\n
\,T_1,T_2 — temperaturas em Kelvin.

Passo 4

Cálculo numérico do gap \,E_g.\n
Primeiro converto as temperaturas para Kelvin:\n
T_1 = 20^\circ\mathrm{C} = 293{,}15\\ \mathrm{K},
T_2 = 100^\circ\mathrm{C} = 373{,}15\\ \mathrm{K}.
Valores das condutividades:\n
\sigma(T_1)=250, \sigma(T_2)=1100 (em (\Omega\cdot\mathrm{m})^{-1}).\n
Calculo a razão e seu logaritmo:\n
\ln\!\left(\frac{\sigma(T_2)}{\sigma(T_1)}\right) = \ln\!\left(\frac{1100}{250}\right) = \ln(4{,}4) \approx 1{,}4816.
Calculo a diferença dos inversos das temperaturas:\n
\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1} = \frac{1}{373{,}15}-\frac{1}{293{,}15} \approx -0{,}000734\\ \mathrm{K}^{-1}.
Agora aplico a fórmula (usando k_B=8{,}617\times10^{-5}\\ \mathrm{eV/K}):\n
E_g = -2\cdot(8{,}617\times10^{-5})\;\frac{1{,}4816}{-0{,}000734}.
Faço a conta em etapas:\n
-2k_B\cdot\frac{\ln(\sigma_2/\sigma_1)}{(1/T_2-1/T_1)} = 2\cdot8{,}617\times10^{-5}\cdot\frac{1{,}4816}{0{,}000734}.
2\cdot8{,}617\times10^{-5} \approx 1{,}7234\times10^{-4}.
\frac{1{,}4816}{0{,}000734} \approx 2.018\times10^{3}.
Multiplicando:
E_g \approx 1{,}7234\times10^{-4}\times2{,}018\times10^{3} \approx 0{,}348\\ \mathrm{eV}.
Arredondando comumente para três casas decimais:
E_g \approx 0{,}349\\ \mathrm{eV}.

Passo 5

Fórmula e raciocínio para calcular \sigma a 50^\circ\mathrm{C}.\n
Usamos a mesma expressão exponencial e o E_g encontrado. Seja T_3=50^\circ\mathrm{C}=323{,}15\\ \mathrm{K}. A relação entre \sigma(T_3) e \sigma(T_1) é:
\frac{\sigma(T_3)}{\sigma(T_1)} = \exp\!\left(-\frac{E_g}{2k_B}\left(\frac{1}{T_3}-\frac{1}{T_1}\right)\right).
Logo,
\sigma(T_3) = \sigma(T_1)\,\exp\!\left(-\frac{E_g}{2k_B}\left(\frac{1}{T_3}-\frac{1}{T_1}\right)\right).
Aqui uso \sigma(T_1)=250\;(\Omega\cdot\mathrm{m})^{-1} e E_g=0{,}348\\ \mathrm{eV} (valor calculado no passo anterior).

Passo 6

Cálculo numérico de \sigma(50^\circ\mathrm{C}).\n
Primeiro calculemos os termos numéricos:\n
\frac{E_g}{2k_B} = \frac{0{,}348}{2\cdot8{,}617\times10^{-5}} \approx 2{,}021\times10^{3}.
\frac{1}{T_3}-\frac{1}{T_1} = \frac{1}{323{,}15}-\frac{1}{293{,}15} \approx -0{,}000318\\ \mathrm{K}^{-1}.
Multiplicando:
-\frac{E_g}{2k_B}\left(\frac{1}{T_3}-\frac{1}{T_1}\right) \approx -2{,}021\times10^{3}\times(-0{,}000318) \approx 0{,}6428.
Então
\sigma(T_3) = 250\cdot e^{0{,}6428} \approx 250\cdot1{,}8984 \approx 474{,}6\;(\Omega\cdot\mathrm{m})^{-1}.

Resposta

a) E_g \approx 0{,}349\\ \mathrm{eV}\n
b) \sigma(50^\circ\mathrm{C}) \approx 474{,}6\;(\Omega\cdot\mathrm{m})^{-1}

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