Calcule a densidade de estados de um gás de elétrons tridimensional (metal), bidimensional (grafite) e unidimensional (molécula linear com ligações duplas conjugadas).

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a densidade de estados de um gás de elétrons livres em três dimensões (metal), duas dimensões (grafite) e uma dimensão (molécula linear). O conteúdo da matéria é o modelo de elétrons livres, onde usamos a relação de dispersão E=hbar^2 k^22m, levamos em conta a degenerescência de spin ( 2) e contamos estados no espaço k.

Passo 2

A densidade de estados g(E) é definida como a derivada do número acumulado de estados N(E):
g(E)=dN(E)dE
Para elétrons livres em d dimensões, o número de estados até o valor k é dado por:
N(E)=2timesVd(2pi)^dtimes(volume em (k)-espaço até (k)), çé
onde Vd é o volume ( d=3), área ( d=2) ou comprimento ( d=1), e depois substituímos k=raiz2mE/hbar.

Passo 3

No caso 3D temos uma esfera de raio k. Assim:
N3D(E)=2timesV(2pi)^3times43pi k^3 =V3pi^2,k^3
Como k=raiz2mE/hbar, fica:
N3D(E)=V3pi^2l(2mhbar^2r)^3/2E^3/2
Logo a densidade de estados é
g3D(E)=dN3DdE=V2pi^2l(2mhbar^2r)^3/2raizE

Passo 4

No caso 2D a região no k-espaço é um disco de raio k. Temos:
N2D(E)=2timesA(2pi)^2timespi k^2=A2pik^2
Substituindo k^2=2mE/hbar^2 obtemos
N2D(E)=A2pi2mEhbar^2=Ampihbar^2E
e portanto
g2D(E)=dN2DdE=Ampihbar^2,
que é constante em E.

Passo 5

No caso 1D consideramos um segmento de comprimento L em k-espaço com |k|<= k. Assim:
N1D(E)=2timesL2pitimes k=Lpik
Com k=raiz2mE/hbar isso vira
N1D(E)=Lpiraiz2mEhbar
e a densidade de estados é
g1D(E)=dN1DdE=Lpihbarraizm2E

Resposta

g_{3D}(E)=\frac{V}{2\pi2}\Bigl(\frac{2m}{\hbar2}\Bigr)^{3/2}\sqrt{E},\quad g_{2D}(E)=\frac{Am}{\pi\hbar^2},\quad g_{1D}(E)=\frac{L}{\pi\hbar}\sqrt{\frac{m}{2E}}

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