Calcule a densidade de estados de um gás de elétrons tridimensional (metal), bidimensional (grafite) e unidimensional (molécula linear com ligações duplas conjugadas).
Passo 1
O enunciado pede pra calcular a densidade de estados de um gás de elétrons livres em três dimensões (metal), duas dimensões (grafite) e uma dimensão (molécula linear). O conteúdo da matéria é o modelo de elétrons livres, onde usamos a relação de dispersão
, levamos em conta a degenerescência de spin (
) e contamos estados no espaço
.
Passo 2
A densidade de estados
é definida como a derivada do número acumulado de estados
:
Para elétrons livres em
dimensões, o número de estados até o valor
é dado por:
onde
é o volume (
), área (
) ou comprimento (
), e depois substituímos
.
Passo 3
No caso 3D temos uma esfera de raio
. Assim:
Como
, fica:
Logo a densidade de estados é
Passo 4
No caso 2D a região no
-espaço é um disco de raio
. Temos:
Substituindo
obtemos
e portanto
que é constante em
.
Passo 5
No caso 1D consideramos um segmento de comprimento
em
-espaço com
. Assim:
Com
isso vira
e a densidade de estados é
Resposta
g_{3D}(E)=\frac{V}{2\pi2}\Bigl(\frac{2m}{\hbar2}\Bigr)^{3/2}\sqrt{E},\quad g_{2D}(E)=\frac{Am}{\pi\hbar^2},\quad g_{1D}(E)=\frac{L}{\pi\hbar}\sqrt{\frac{m}{2E}}