Calcule a densidade linear e o fator de empacotamento linear no sistema CCC para a direção [111], supondo ligações metálicas entre os átomos e que o parâmetro de rede seja 4 Å.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para o sistema cristalino CCC (cúbica com átomo no corpo — ou seja, BCC):
  • Calcular a densidade linear na direção [111].
  • Calcular o fator de empacotamento linear (linear packing factor) nessa mesma direção.
    Informações dadas:
  • Parâmetro de rede: a=4\\ \text{\AA}.
  • Ligações metálicas (assumimos esferas duras que se tocam nos vizinhos mais próximos).
  • Direção considerada: [111] (a diagonal do cubo).

Passo 2

Entender a geometria do CCC (BCC) ao longo da direção [111].
  • Na rede CCC/BCC há átomos nos 8 vértices do cubo e 1 átomo no centro do cubo.
  • A direção [111] é justamente a diagonal espacial do cubo (body diagonal). O comprimento de uma diagonal espacial é
L_{\text{diag}}=\sqrt{3}\,a.
  • Nessa diagonal espacial passam os centros de três átomos ao longo do segmento que liga um vértice ao vértice oposto: o vértice inicial, o átomo do centro do cubo, e o vértice final. Vou usar esse segmento de comprimento L=\sqrt{3}\,a como o intervalo repetitivo para contar átomos na direção [111].

Passo 3

Determinar o raio atômico r a partir da geometria BCC (isto é importante para o fator de empacotamento linear).
  • No CCC/BCC o átomo do centro toca os átomos dos vértices ao longo da diagonal do cubo. A distância entre o centro do cubo e um vértice é metade da diagonal:
d_{\text{centro-vértice}}=\frac{\sqrt{3}\,a}{2}.é
  • Como dois átomos idênticos se tocam, essa distância corresponde a 2r. Portanto
2r=\frac{\sqrt{3}\,a}{2}\quad\Rightarrow\quad r=\frac{\sqrt{3}\,a}{4}.
  • Substituindo a=4\\ \text{\AA}
r=\frac{\sqrt{3}\cdot 4\\ \text{\AA}}{4}=\sqrt{3}\\ \text{\AA}\approx 1{,}732\\ \text{\AA}.

Passo 4

Contagem de centros de átomos ao longo do trecho repetitivo [111].
  • No segmento que vai de um vértice até o vértice oposto (comprimento L=\sqrt{3}\,a) existem exatamente três centros de átomos alinhados: vértice inicial, átomo central e vértice final.
  • Para calcular densidade linear basta contar esses centros dentro do comprimento repetitivo escolhido.

Passo 5

Definição e cálculo da densidade linear.
  • Definição: densidade linear (LD) na direção dada é o número de centros atômicos por unidade de comprimento ao longo dessa direção.
  • No nosso segmento temos 3 centros em comprimento L=\sqrt{3}\,a, portanto
\text{LD}=\frac{3}{\sqrt{3}\,a}=\frac{\sqrt{3}}{a}.
  • Substituindo a=4\\ \text{\AA}:
\text{LD}=\frac{\sqrt{3}}{4\\ \text{\AA}}\approx 0{,}433\\ \text{átomos/Å}=4{,}33\\ \text{átomos/nm}.áÅá

Passo 6

Definição e cálculo do fator de empacotamento linear (LPF).
  • Definição: LPF é a fração do comprimento considerado que está efetivamente ocupada por material atômico ao longo da direção — ou seja, comprimento total ocupado pelos “diâmetros” dos átomos projetados na linha dividido pelo comprimento do segmento repetitivo.
  • Considere o segmento entre vértice e vértice oposto (comprimento L=\sqrt{3}\,a). Os três centros estão em x=0, x=L/2, x=L. Cada esfera tem raio r.
    • O átomo central (no meio) contribui com todo o seu diâmetro 2r dentro do segmento.
    • Os átomos nos extremos têm suas metades externas fora do segmento, portanto cada um contribui com apenas r dentro do segmento.
  • Soma do comprimento ocupado por átomos dentro do segmento:
\text{comprimento ocupado}=r + 2r + r = 4r.
  • Assim o LPF é
\text{LPF}=\frac{4r}{L}.
  • Substituindo r=\dfrac{\sqrt{3}\,a}{4} e L=\sqrt{3}\,a:
\text{LPF}=\frac{4\cdot\left(\dfrac{\sqrt{3}\,a}{4}\right)}{\sqrt{3}\,a}=\frac{\sqrt{3}\,a}{\sqrt{3}\,a}=1.

Passo 7

Interpretação curta (pra te animar): LPF =1 significa que, ao longo da direção [111] na estrutura CCC/BCC, as esferas atômicas se tocam sequencialmente sem espaços vazios — essa é justamente a direção mais próxima/compacta do BCC.

Resposta

\text{densidade linear}=\dfrac{\sqrt{3}}{a}=\dfrac{\sqrt{3}}{4\\ \text{\AA}}\approx 0,433\\ \text{átomos/Å}=4,33\\ \text{átomos/nm}áÅá
\text{fator de empacotamento linear}=1

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