Calcule a densidade linear e o fator de empacotamento linear no sistema CCC para a direção [111], supondo ligações metálicas entre os átomos e que o parâmetro de rede seja 4 Å.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para o sistema cristalino CCC (cúbica com átomo no corpo — ou seja, BCC):
- Calcular a densidade linear na direção
. - Calcular o fator de empacotamento linear (linear packing factor) nessa mesma direção.
Informações dadas: - Parâmetro de rede:
. - Ligações metálicas (assumimos esferas duras que se tocam nos vizinhos mais próximos).
- Direção considerada:
(a diagonal do cubo).
Passo 2
Entender a geometria do CCC (BCC) ao longo da direção
.
- Na rede CCC/BCC há átomos nos 8 vértices do cubo e 1 átomo no centro do cubo.
- A direção
é justamente a diagonal espacial do cubo (body diagonal). O comprimento de uma diagonal espacial é
- Nessa diagonal espacial passam os centros de três átomos ao longo do segmento que liga um vértice ao vértice oposto: o vértice inicial, o átomo do centro do cubo, e o vértice final. Vou usar esse segmento de comprimento
como o intervalo repetitivo para contar átomos na direção .
Passo 3
Determinar o raio atômico
a partir da geometria BCC (isto é importante para o fator de empacotamento linear).
- No CCC/BCC o átomo do centro toca os átomos dos vértices ao longo da diagonal do cubo. A distância entre o centro do cubo e um vértice é metade da diagonal:
- Como dois átomos idênticos se tocam, essa distância corresponde a
. Portanto
- Substituindo
dá
Passo 4
Contagem de centros de átomos ao longo do trecho repetitivo
.
- No segmento que vai de um vértice até o vértice oposto (comprimento
) existem exatamente três centros de átomos alinhados: vértice inicial, átomo central e vértice final. - Para calcular densidade linear basta contar esses centros dentro do comprimento repetitivo escolhido.
Passo 5
Definição e cálculo da densidade linear.
- Definição: densidade linear (LD) na direção dada é o número de centros atômicos por unidade de comprimento ao longo dessa direção.
- No nosso segmento temos 3 centros em comprimento
, portanto
- Substituindo
:
Passo 6
Definição e cálculo do fator de empacotamento linear (LPF).
- Definição: LPF é a fração do comprimento considerado que está efetivamente ocupada por material atômico ao longo da direção — ou seja, comprimento total ocupado pelos “diâmetros” dos átomos projetados na linha dividido pelo comprimento do segmento repetitivo.
- Considere o segmento entre vértice e vértice oposto (comprimento
). Os três centros estão em , , . Cada esfera tem raio . - O átomo central (no meio) contribui com todo o seu diâmetro
dentro do segmento. - Os átomos nos extremos têm suas metades externas fora do segmento, portanto cada um contribui com apenas
dentro do segmento.
- O átomo central (no meio) contribui com todo o seu diâmetro
- Soma do comprimento ocupado por átomos dentro do segmento:
- Assim o LPF é
- Substituindo
e :
Passo 7
Interpretação curta (pra te animar): LPF
significa que, ao longo da direção
na estrutura CCC/BCC, as esferas atômicas se tocam sequencialmente sem espaços vazios — essa é justamente a direção mais próxima/compacta do BCC.