Calcule a densidade planar e a fração de empacotamento para os planos (010) e (020) para o sistema CS do polônio, o qual tem a0=3,34 times 10^-8 cm.

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício que pede para calcular a densidade planar e a fração de empacotamento para os planos (010) e (020) no sistema cúbico simples (CS) do polônio. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de densidade planar, fração de empacotamento e algumas fórmulas da cristalografia. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre densidade planar. Ela indica quantos átomos estão presentes por unidade de área em um determinado plano cristalino. Isso nos ajuda a entender como os átomos estão organizados nas diferentes faces da célula unitária.

Passo 3

Agora, vamos calcular a densidade planar para o plano (010). A fórmula para a densidade planar ( sigma = NA ) é:
A = a0 times a0 = a0^2
Onde:
  • sigma(010) = 1a0^2 é o número de átomos no plano.
  • sigma(010) = 1(3,34 times 10^-8)^2 approx 8,98 times 10^14 , átomos/cm^2 é a área do plano.
No sistema cúbico simples, cada plano (010) tem 1 átomo totalmente dentro do plano. A área do plano (010) é:
Substituindo os valores:
Com :
á

Passo 4

Seguimos para a densidade planar do plano (020). A abordagem é similar à do plano (010), mas precisamos considerar a orientação e a distância entre os planos.

Passo 5

Para o plano (020), a distância entre os planos d(hkl) = a0raizh^2 + k^2 + l^2 é dada por:
d(020) = 3,34 times 10^-8raiz0 + 4 + 0 = 3,34 times 10^-82 = 1,67 times 10^-8 , cm
Substituindo A = a0 times a0 = a0^2 , sigma(020) = 1a0^2 approx 8,98 times 10^14 , átomos/cm^2 , :
A área do plano (020) é:
E o número de átomos permanece 1. Então:
á

Passo 6

Agora, vamos falar sobre a fração de empacotamento. Ela representa a proporção do volume da célula unitária ocupado pelos átomos, considerando que eles são esferas. É uma medida de quão “ompacotado” está o cristal.

Passo 7

Para calcular a fração de empacotamento ( PF = Z times 43pi r^3a0^3 ) no sistema cúbico simples, usamos a fórmula:
PF = 1 times 43pi (3,34 times 10^-82)^3(3,34 times 10^-8)^3 = 43pi (12)^31 = 43pi8 = pi6 approx 0,5236 , ou , 52,36%
Onde:
  • é o número de átomos por célula unitária (no CS, ).
  • é o raio do átomo, que em CS é .
Substituindo:

Resposta

A densidade planar para os planos (010) e (020) é aproximadamente á em ambos os casos, e a fração de empacotamento do sistema cúbico simples do polônio é de cerca de 52,36 %.

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