Calcule a densidade planar e a fração de empacotamento para os planos (010) e (020) para o sistema CS do polônio, o qual tem
.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício que pede para calcular a densidade planar e a fração de empacotamento para os planos (010) e (020) no sistema cúbico simples (CS) do polônio. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de densidade planar, fração de empacotamento e algumas fórmulas da cristalografia. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre densidade planar. Ela indica quantos átomos estão presentes por unidade de área em um determinado plano cristalino. Isso nos ajuda a entender como os átomos estão organizados nas diferentes faces da célula unitária.
Passo 3
Agora, vamos calcular a densidade planar para o plano (010). A fórmula para a densidade planar (
) é:
Onde:
-
é o número de átomos no plano. -
é a área do plano.
No sistema cúbico simples, cada plano (010) tem 1 átomo totalmente dentro do plano. A área
do plano (010) é:
Substituindo os valores:
Com
:
Passo 4
Seguimos para a densidade planar do plano (020). A abordagem é similar à do plano (010), mas precisamos considerar a orientação e a distância entre os planos.
Passo 5
Para o plano (020), a distância entre os planos
é dada por:
Substituindo
,
,
:
A área
do plano (020) é:
E o número de átomos
permanece 1. Então:
Passo 6
Agora, vamos falar sobre a fração de empacotamento. Ela representa a proporção do volume da célula unitária ocupado pelos átomos, considerando que eles são esferas. É uma medida de quão “ompacotado” está o cristal.
Passo 7
Para calcular a fração de empacotamento (
) no sistema cúbico simples, usamos a fórmula:
Onde:
-
é o número de átomos por célula unitária (no CS, ). -
é o raio do átomo, que em CS é .
Substituindo:
Resposta
A densidade planar para os planos (010) e (020) é aproximadamente
em ambos os casos, e a fração de empacotamento do sistema cúbico simples do polônio é de cerca de 52,36 %.