Algum metal hipotético possui estrutura cristalina CS. Se seu peso atômico vale 74,5 g / mol e o raio atômico 0,145 nm, calcule sua densidade teórica. (Resoposta: 5,07 g / cm^3 ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um metal com estrutura cristalina CS (que provavelmente é a estrutura do cloreto de césio, CsCl). A gente sabe o peso atômico desse metal, que é 74,5 g/mol, e o raio atômico, que é 0,145 nm. Nosso objetivo aqui é calcular a densidade teórica desse metal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular o volume da célula unitária, que é a menor repetição da estrutura cristalina. Na estrutura CS, cada célula unitária contém 2 átomos (um no centro e um nos cantos do cubo). Para encontrar o volume, precisamos descobrir o comprimento do lado do cubo (a) em termos do raio atômico ®.
Na estrutura CsCl, os átomos estão no vértice e no centro do cubo, então a diagonal do cubo que passa pelo centro é igual a 2raiz2 times r. Logo, podemos relacionar o lado do cubo com o raio:
a = 2 times r times raiz2
Substituindo o valor do raio:
a = 2 times 0,145 nm times raiz2 approx 0,410 nm
Agora, o volume da célula unitária é:
V = a^3 = (0,410 nm)^3 approx 0,069 nm^3
Convertendo para centímetros cúbicos, já que a densidade será em g/cm^3:
1 nm^3 = 10^-21 cm^3 V approx 0,069 times 10^-21 cm^3 = 6,9 times 10^-23 cm^3

Passo 3

Agora, vamos calcular a massa da célula unitária. Sabemos que o peso atômico é 74,5 g/mol, e usamos o número de Avogadro ( NA = 6,022 times 10^23 mol^-1) para relacionar gramas por átomo.
Primeiro, a massa de um átomo:
mátomo = 74,5 g/mol6,022 times 10^23 mol^-1 approx 1,237 times 10^-22 g á
Como temos 2 átomos por célula unitária:
mcélula = 2 times 1,237 times 10^-22 g approx 2,474 times 10^-22 g é

Passo 4

Agora, vamos calcular a densidade ( rho) usando a fórmula:
rho = massavolume = 2,474 times 10^-22 g6,9 times 10^-23 cm^3 approx 3,59 g/cm^3
Parece que há uma discrepância aqui, já que a resposta esperada é 5,07 g/cm^3. Vamos revisar nossos cálculos.
Observando novamente, a relação entre o lado do cubo e o raio na estrutura CsCl é:
a = 2r times raiz2 approx 2 times 0,145 nm times 1,414 approx 0,411 nm
O volume:
V = a^3 approx (0,411 nm)^3 approx 0,069 nm^3 = 6,9 times 10^-23 cm^3
A massa correta da célula:
mcélula = 2 times 74,5 g/mol6,022 times 10^23 mol^-1 approx 2,474 times 10^-22 g é
Calculando novamente a densidade:
rho = 2,474 times 10^-22 g6,9 times 10^-23 cm^3 approx 3,58 g/cm^3
Parece que houve um erro nos cálculos iniciais. Vamos verificar se a estrutura cristalina foi interpretada corretamente. Se a estrutura fosse cúbica de face centrada (CFC), o número de átomos por célula seria diferente, mas como o enunciado diz CS, assumimos CsCl com 2 átomos por célula.

Passo 5

Considerando que nossos cálculos dão approx 3,58 g/cm^3 e a resposta esperada é 5,07 g/cm^3, é provável que haja uma necessidade de revisar as relações usadas ou a estrutura cristalina assumida. Porém, seguindo os passos e fórmulas aplicadas, a densidade teórica calculada é aproximadamente 3,58 g/cm^3.

Resposta

A densidade teórica do metal é aproximadamente 3,58 g/cm^3.

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