Calcule a densidade planar para os planos (010) e (020) do Polônio cubico simples com parâmetro de rede de
. Discuta os resultados obtidos. Esses planos são equivalentes?
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra calcular a densidade planar (quantos átomos por área) dos planos (010) e (020) de um polônio de estrutura cúbica simples com parâmetro de rede
. O conteúdo aqui é “densidade planar em cristalografia” e vamos usar a definição básica:
Passo 2
Primeiro, lembra que em cúbica simples (SC) tem átomo só nos oito cantos da célula, cada canto compartilhado por 8 células. Então, em cada canto “contribuem”
de átomo pra cada célula. O plano (010) é aquele que “corta” o eixo
em
(e repete a cada
), e é paralelo ao plano
.
Passo 3
Vamos ver quantos átomos “caem” exatamente no plano
. Os cantos da face que têm
são
.
Cada um desses cantos pertence a 4 células (duas no sentido e duas no
), então cada canto “dá”
de átomo para esta célula.
Número total de átomos no plano por célula:
Cada um desses cantos pertence a 4 células (duas no sentido
Número total de átomos no plano por célula:
Passo 4
A área do plano (010) dentro de uma célula é simplesmente
Logo, a densidade planar do (010) é
Passo 5
Agora o (020) é um “multiplo” de Miller do (010). Ele gera planos em
mas só em
(e
) há átomo, porque em SC não tem átomo em
. Então, quando o plano realmente “toca” átomos, a situação é idêntica ao (010): os mesmos 4 cantos, mesma área
, mesmo total de 1 átomo por célula.
Passo 6
Discussão rápida: como a família
e
são na prática o mesmo conjunto de planos “reais” que passam por átomos, elas têm densidade planar igual. Em cristalografia, (0 2 0) não cria plano “extra” com átomo, só muda a periodicidade formal dos planos intermediários sem átomo.
Resposta
Sim, os planos são equivalentes em densidade planar.