Indique em células unitárias cúbicas os seguintes planos e direções cristalográficas:
[122]; [110], [310] e [101].

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente “desenhar” (ou indicar) em células unitárias cúbicas as direções cristalográficas [122], [110], [310] e [101]. Isso está em cristalografia de retículo: precisamos usar os índices de Miller para direção, sabendo que em célula cúbica o eixo x, y e z são ortogonais e de mesmo comprimento (a).

Passo 2

Teoria básica que vamos usar:
  • Uma direção [h k l] em cristalografia é simplesmente um vetor que vai da origem (0,0,0) até o ponto (h,k,l) em unidades de parâmetro de rede a.
  • Como a célula é cúbica, cada passo “1” em x, y ou z corresponde a um comprimento “a” no espaço.
  • Se algum índice é zero, quer dizer que não há avanço naquele eixo.
  • Se um índice é maior que 1, o vetor sai da primeira célula e entra nas células vizinhas – tudo bem, a gente só estica o desenho para as células adjacentes.
Agora, para cada direção, vamos ver ponto a ponto qual é o vetor e como desenhar em uma ou mais células.

Passo 3

Representando [122]
  1. O vetor vai de (0,0,0) até (1,2,2).
  2. Em coordenadas: r[122] = 1,x + 2,y + 2,z
  3. Pra desenhar, você começa no canto inferior-próximo (origem), anda 1 célula em x, depois 2 células em y e 2 em z. Vai acabar numa célula que está “atrás e em cima” da original.

Passo 4

Representando [110]
  1. O vetor vai de (0,0,0) até (1,1,0).
  2. Em coordenadas: r[110] = 1,x + 1,y + 0,z
  3. Isso é só a diagonal da face inferior da célula (plano xy). Você acompanha a face até a aresta oposta, saindo num ponto do mesmo nível em z.

Passo 5

Representando [310]
  1. O vetor vai de (0,0,0) até (3,1,0).
  2. Em coordenadas: r[310] = 3,x + 1,y + 0,z
  3. Aqui ele sai 3 células em x e 1 em y, mas continua no plano z=0. No desenho, você vai precisar de 3 células lado a lado no sentido x e uma pra frente em y.

Passo 6

Representando [101]
  1. O vetor vai de (0,0,0) até (1,0,1).
  2. Em coordenadas: r[101] = 1,x + 0,y + 1,z
  3. É a diagonal da face xz da célula. Você caminha uma célula em x e uma célula em z.

Resposta

Em cada caso, a direção [hkl] é um vetor do ponto (0,0,0) até (h,k,l). Na célula cúbica de aresta a isso corresponde a:
• [122]: vetor para (1,2,2), passando por duas células em y e z.
• [110]: face-diagonal em xy até (1,1,0).
• [310]: três células em x e uma em y no plano z=0.
• [101]: face-diagonal em xz até (1,0,1).

Exercícios relacionados