Calcule a derivada:
(1+\cos ^{2} x)^{6}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = (1+\cos^2 x)^{6}
O conteúdo aqui é a regra da cadeia para funções compostas: primeiro derivamos a potência e depois derivamos o argumento interno.

Passo 2

Identificamos a função externa e a interna. Seja
u(x) = 1+\cos^2 x,
então
f(x) = \bigl(u(x)\bigr)^{6}.
Pela regra da cadeia,
f'(x) = 6\bigl(u(x)\bigr)^{5}\,u'(x).

Passo 3

Agora calculamos u'(x). Como
u(x) = 1 + \cos^2 x,
temos \frac{d}{dx}(1)=0 e, usando novamente a regra da cadeia em \cos^2 x:
\frac{d}{dx}\bigl(\cos^2 x\bigr) = 2\cos x \;\frac{d}{dx}(\cos x) = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\cos x\sin x.
Portanto,
u'(x) = -2\cos x\sin x.

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) em f'(x), obtemos
f'(x) = 6\bigl(1+\cos^2 x\bigr)^{5}\,\bigl(-2\cos x\sin x\bigr) = -12\cos x\sin x\,(1+\cos^2 x)^{5}.

Resposta

f'(x) = -12\cos x\sin x\,(1+\cos^2 x)^{5}.

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