Suponha que f(5)=4, f^{\prime}(5)=6, g(5)=-3, e g^{\prime}(5)=2. Encontre os valores de (f g)^{\prime}(5) e \left(\frac{f}{g}\right)^{\prime}(5).

Passo 1

O enunciado nos dá os valores \,f(5)=4, \,f'(5)=6, \,g(5)=-3 e \,g'(5)=2. O conteúdo aqui é a aplicação da regra do produto para (fg)' e da regra do quociente para \bigl(\tfrac{f}{g}\bigr)'.

Passo 2

A regra do produto diz que
(fg)'(x)=f'(x)\,g(x)+f(x)\,g'(x).
Substituindo x=5:
(fg)'(5)=f'(5)\,g(5)+f(5)\,g'(5)=6\cdot(-3)+4\cdot2=-18+8=-10.

Passo 3

A regra do quociente diz que
\Bigl(\tfrac{f}{g}\Bigr)'(x)=\frac{f'(x)\,g(x)-f(x)\,g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^{2}}.
Substituindo x=5:
\Bigl(\tfrac{f}{g}\Bigr)'(5) =\frac{6\cdot(-3)-4\cdot2}{(-3)^{2}} =\frac{-18-8}{9} =-\frac{26}{9}.

Resposta

(fg)'(5)=-10 \displaystyle\bigl(\tfrac{f}{g}\bigr)'(5)=-\frac{26}{9}

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