Calcule a derivada:
\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(\operatorname{sen} x))

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\sin\bigl(\sin\bigl(\sin x\bigr)\bigr).
O conteúdo principal é a regra da cadeia para derivação de funções compostas, e vamos precisar saber que a derivada de \sin u em relação a u é \cos u.

Passo 2

Começamos aplicando a regra da cadeia à camada mais externa. Defina
u(x)=\sin\bigl(\sin x\bigr), \quad f(x)=\sin\bigl(u(x)\bigr).
Então
f'(x) =\cos\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) =\cos\bigl(\sin(\sin x)\bigr)\cdot u'(x).

Passo 3

Agora derivamos u(x)=\sin\bigl(\sin x\bigr) também por cadeia. Defina
v(x)=\sin x, \quad u(x)=\sin\bigl(v(x)\bigr).
Logo
u'(x) =\cos\bigl(v(x)\bigr)\cdot v'(x) =\cos\bigl(\sin x\bigr)\cdot v'(x).

Passo 4

Finalmente derivamos v(x)=\sin x. Como é a função seno simples,
v'(x)=\cos x.

Passo 5

Substituindo v'(x) em u'(x) e depois em f'(x), obtemos
f'(x) =\cos\bigl(\sin(\sin x)\bigr)\,\Bigl[\cos\bigl(\sin x\bigr)\,\cos x\Bigr] =\cos\bigl(\sin(\sin x)\bigr)\,\cos\bigl(\sin x\bigr)\,\cos x.

Resposta

f'(x)=\cos\bigl(\sin(\sin x)\bigr)\,\cos\bigl(\sin x\bigr)\,\cos x.

Exercícios relacionados