Calcule a derivada de cada função abaixo usando a regra de derivação adequada:
(f(x)=\ln \left(\sqrt{5-x^{2}}\right)+\sqrt{3}).
(f(x)=\ln \left(\sqrt{5-x^{2}}\right)+\sqrt{3}).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas e o que precisamos:
- A função é a soma de dois termos:
e . -
é uma constante. - O argumento do logaritmo é
, que exige , ou seja . (Isso também indica onde a derivada faz sentido.) - O objetivo é calcular
, a derivada de em termos de .
Passo 2
Observação inicial e estratégia (sem resolver ainda): a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Então vamos derivar termo a termo:
Agora vamos calcular cada derivada separadamente, mostrando e justificando cada regra usada.
Passo 3
Derivada do segundo termo (é mais fácil):
é constante (não depende de
), e a derivada de uma constante é zero. Logo,
Explicação curta: constantes não mudam quando
muda, então a taxa de variação é zero.
Passo 4
Tratamento do primeiro termo:
.
Uma identidade útil é para
. Aplicando com
obtemos
Uma identidade útil é
Isso simplifica a derivação porque agora usamos a regra da derivada do logaritmo natural: se
então
ou, no caso multiplicado por um coeficiente, se
então
.
Passo 5
Aplicando a regra ao nosso caso: seja
. Então
Agora calculamos
. Como
, a derivada de
é
e a derivada de
é
. Assim
Passo 6
Substituindo
e
na fórmula:
Agora simplificamos o fator
: isso dá
. Portanto
Comentário: poderíamos também ter aplicado diretamente a regra da cadeia escrevendo
e usando
; o resultado é o mesmo. Aqui a identidade com
torna a conta bem direta.
Passo 7
Somando as derivadas dos dois termos (lembre que a derivada da soma é a soma das derivadas):
Passo 8
Observações finais e domínio da derivada:
- A expressão encontrada para
vale para os em que a função original estava definida, isto é . - Nos pontos
o denominador é zero e a derivada (nem mesmo a função) não está definida ali. - Em particular,
, pois substituindo obtemos .