Calcule a derivada de cada função abaixo usando a regra de derivação adequada:
(f(x)=\ln \left(\sqrt{5-x^{2}}\right)+\sqrt{3}).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\ln\!\big(\sqrt{5-x^{2}}\big)+\sqrt{3}.
Informações dadas e o que precisamos:
  • A função é a soma de dois termos: \ln\!\big(\sqrt{5-x^{2}}\big) e \sqrt{3}.
  • \sqrt{3} é uma constante.
  • O argumento do logaritmo é \sqrt{5-x^{2}}, que exige 5-x^{2}>0, ou seja x\in\big(-\sqrt{5},\sqrt{5}\big). (Isso também indica onde a derivada faz sentido.)
  • O objetivo é calcular f'(x), a derivada de f em termos de x.

Passo 2

Observação inicial e estratégia (sem resolver ainda): a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Então vamos derivar termo a termo:
f'(x)=\frac{d}{dx}\left[\ln\!\big(\sqrt{5-x^{2}}\big)\right]+\frac{d}{dx}\left[\sqrt{3}\right].
Agora vamos calcular cada derivada separadamente, mostrando e justificando cada regra usada.

Passo 3

Derivada do segundo termo (é mais fácil): \sqrt{3} é constante (não depende de x), e a derivada de uma constante é zero. Logo,
\frac{d}{dx}\left[\sqrt{3}\right]=0.
Explicação curta: constantes não mudam quando x muda, então a taxa de variação é zero.

Passo 4

Tratamento do primeiro termo: \ln\!\big(\sqrt{5-x^{2}}\big).
Uma identidade útil é \ln(\sqrt{u})=\tfrac{1}{2}\ln(u) para u>0. Aplicando com u=5-x^{2} obtemos
\ln\!\big(\sqrt{5-x^{2}}\big)=\tfrac{1}{2}\ln(5-x^{2}).
Isso simplifica a derivação porque agora usamos a regra da derivada do logaritmo natural: se g(x)=\ln(h(x)) então
g'(x)=\frac{h'(x)}{h(x)},
ou, no caso multiplicado por um coeficiente, se g(x)=c\ln(h(x)) então g'(x)=c\cdot\frac{h'(x)}{h(x)}.

Passo 5

Aplicando a regra ao nosso caso: seja h(x)=5-x^{2}. Então
\frac{d}{dx}\left[\tfrac{1}{2}\ln(5-x^{2})\right]=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{d}{dx}[\,\ln(5-x^{2})\,]=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{h'(x)}{h(x)}.
Agora calculamos h'(x). Como h(x)=5-x^{2}, a derivada de 5 é 0 e a derivada de -x^{2} é -2x. Assim
h'(x)=-2x.

Passo 6

Substituindo h'(x) e h(x) na fórmula:
\frac{d}{dx}\left[\tfrac{1}{2}\ln(5-x^{2})\right]=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{-2x}{5-x^{2}}.
Agora simplificamos o fator \tfrac{1}{2}\cdot(-2x): isso dá -x. Portanto
\frac{d}{dx}\left[\ln\!\big(\sqrt{5-x^{2}}\big)\right]=-\frac{x}{5-x^{2}}.
Comentário: poderíamos também ter aplicado diretamente a regra da cadeia escrevendo \sqrt{5-x^{2}}=(5-x^{2})^{1/2} e usando \frac{d}{dx}\ln(u)=u'/u; o resultado é o mesmo. Aqui a identidade com \tfrac{1}{2}\ln torna a conta bem direta.

Passo 7

Somando as derivadas dos dois termos (lembre que a derivada da soma é a soma das derivadas):
f'(x)=-\frac{x}{5-x^{2}}+0=-\frac{x}{5-x^{2}}.

Passo 8

Observações finais e domínio da derivada:
  • A expressão encontrada para f'(x) vale para os x em que a função original estava definida, isto é x\in\big(-\sqrt{5},\sqrt{5}\big).
  • Nos pontos x=\pm\sqrt{5} o denominador 5-x^{2} é zero e a derivada (nem mesmo a função) não está definida ali.
  • Em particular, f'(0)=0, pois substituindo x=0 obtemos f'(0)=-0/(5-0)=0.

Resposta

f'(x)=-\frac{x}{5-x^{2}}

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