Verifique quais matrizes a seguir não estão na forma escada.
Justifique.
4 A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 3 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede para verificar quais matrizes da lista não estão na forma escada e justificar. A única matriz fornecida é
Lista de informações relevantes que temos: os elementos de cada linha/coluna da matriz A conforme acima; a tarefa é checar se A está ou não na forma escada.]
Passo 2
Vamos lembrar, de forma clara e sem jargões, o que significa uma matriz estar em forma escada (row echelon form). Uma matriz está em forma escada quando as seguintes condições ocorrem simultaneamente:
\begin{aligned} (1)\\ &\text{Todas as linhas nulas (se houver) estão abaixo das linhas não-nulas.}\\\ (2)\\ &\text{Em cada linha não-nula, o primeiro elemento não-nulo (chamado de "pivô" ou "leading entry")}\\\ &\quad \text{fica estritamente à direita do pivô da linha acima.}\\\ (3)\\ &\text{Todos os elementos abaixo de um pivô são zeros.} \end{aligned}ããããôàôôã
Explicando em palavras: olhe cada linha de cima para baixo, localize o primeiro número diferente de zero nessa linha (esse é o pivô). À medida que você desce, cada pivô deve aparecer numa coluna mais à direita do que o pivô da linha anterior, e abaixo de cada pivô não pode haver valores diferentes de zero.
Passo 3
Vamos identificar os pivôs da matriz A linha a linha.
A primeira linha é (1\;0\;3). O primeiro elemento não-nulo é 1 na coluna 1, então o pivô da linha 1 está na coluna 1.
A segunda linha é (0\;1\;0). O primeiro elemento não-nulo é 1 na coluna 2, então o pivô da linha 2 está na coluna 2.
A terceira linha é (0\;0\;1). O primeiro elemento não-nulo é 1 na coluna 3, então o pivô da linha 3 está na coluna 3.
Em notação: os índices de coluna dos pivôs são 1,\;2,\;3 para as linhas 1,\;2,\;3, respectivamente.
Passo 4
Verificação da condição (2): os pivôs devem deslocar-se para a direita à medida que descemos.
Aqui temos pivôs nas colunas 1 < 2 < 3. Logo, cada pivô está estritamente à direita do pivô da linha anterior. Portanto a condição (2) está satisfeita.
Passo 5
Verificação da condição (3): abaixo de cada pivô todos os elementos devem ser zero.
Para o pivô na linha 1, coluna 1: os elementos abaixo são A_{21}=0 e A_{31}=0. São zeros, OK.
Para o pivô na linha 2, coluna 2: o elemento abaixo é A_{32}=0. É zero, OK.
Para o pivô na linha 3, coluna 3: não há linhas abaixo, então não há violação.
Todas as entradas abaixo dos pivôs são zeros, então a condição (3) está satisfeita.
Passo 6
Verificação da condição (1): linhas nulas devem ficar embaixo. A matriz A não tem nenhuma linha completamente nula (todas três linhas são não-nulas), então essa condição também é satisfeita automaticamente.
Passo 7
Conclusão sobre forma escada: como as três condições da definição foram verificadas e todas são satisfeitas, a matriz A está em forma escada (row echelon form).
Observação extra (útil para prova): existe uma forma mais forte chamada forma escada reduzida (reduced row echelon form), que exige ainda que cada pivô seja 1 e que ele seja o único elemento não-nulo em sua coluna. Aqui todos os pivôs são 1, mas a coluna 3 tem um elemento não-nulo acima do pivô (o valor 3 em A_{13}), portanto A não está na forma escada reduzida. Isso é só um detalhe a mais — para a pergunta dada, interessa que A está em forma escada.