Calcule a derivada de cada função abaixo usando a regra de derivação adequada:
(f(x)=x^{\frac{1}{2}} \operatorname{arctg} x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=x^{\frac{1}{2}}\,\operatorname{arctg} x.
Informações relevantes dadas:
\,x^{\frac{1}{2}} é a raiz quadrada de x (definida para x\ge 0);
\operatorname{arctg} x (arctan de x) está definida para todo x\in\mathbb{R}.
A função f está definida para x\ge 0. Vamos obter a expressão da derivada e indicar em que pontos essa expressão vale.

Passo 2

Escolhemos aplicar a regra do produto porque f é produto de duas funções: uma função u(x) multiplicada por outra v(x). A regra do produto diz o seguinte:
\text{Se }f(x)=u(x)\,v(x)\text{, então }f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).ã
Explicando devagar: u'(x) é a derivada de u em relação a x e v'(x) é a derivada de v. A regra do produto surge ao diferenciar o produto usando limites, mas na prática você memorizou (ou deve usar) essa fórmula para provas.

Passo 3

Identificamos as duas funções do produto:
u(x)=x^{\frac{1}{2}},\qquad v(x)=\operatorname{arctg} x.

Passo 4

Calculamos u'(x). Usamos a regra da potência: para qualquer expoente real n,
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{n-1}.
Aqui n=\tfrac12. Então
u'(x)=\frac{1}{2}\,x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}\,x^{-\frac{1}{2}}.
Reescrevendo em forma mais familiar usando raiz:
u'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Observação sobre domínio: essa expressão faz sentido para x>0. Em x=0 o termo x^{-\frac{1}{2}} fica infinito; trataremos x=0 separadamente.

Passo 5

Calculamos v'(x). Para v(x)=\operatorname{arctg} x (arctan), existe uma fórmula clássica que podemos justificar rapidamente por derivação implícita:
se y=\operatorname{arctg} x então x=\tan y. Derivando em x:
1=\operatorname{sec}^2 y\cdot \frac{dy}{dx}.
Logo
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\operatorname{sec}^2 y}=\cos^2 y.
Como \tan y = x, temos 1+\tan^2 y=\operatorname{sec}^2 y, então \operatorname{sec}^2 y = 1+x^2. Portanto
v'(x)=\frac{1}{1+x^2}.
Assim v'(x) está bem definida para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 6

Aplicamos a regra do produto com os derivadas que já temos:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v':
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\;\operatorname{arctg} x+\;x^{\frac{1}{2}}\cdot\frac{1}{1+x^2}.
Ou, escrito de forma equivalente e mais elegante,
f'(x)=\frac{\operatorname{arctg} x}{2\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{1+x^2}.
Essa expressão vale para x>0, porque contém \sqrt{x} no denominador no primeiro termo.

Passo 7

Podemos juntar os dois termos numa única fração para ficar mais compacto. O denominador comum será 2\sqrt{x}\,(1+x^2). Transformando cada parcela:
primeiro termo com denominador comum:
\frac{\operatorname{arctg} x}{2\sqrt{x}}=\frac{(1+x^2)\operatorname{arctg} x}{2\sqrt{x}\,(1+x^2)}.
segundo termo com denominador comum:
\frac{\sqrt{x}}{1+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{x}\,(1+x^2)}\quad\text{(pois }\sqrt{x}\cdot 2\sqrt{x}=2x\text{)}.
Somando os numeradores:
f'(x)=\frac{(1+x^2)\operatorname{arctg} x + 2x}{2\sqrt{x}\,(1+x^2)},\qquad x>0.

Passo 8

Comentário sobre x=0: a expressão geral encontrada para x>0 não é válida em x=0 porque aparece \sqrt{x} no denominador. Porém podemos calcular a derivada no ponto x=0 diretamente pelo limite (definição):
f'(0)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{\sqrt{h}\,\operatorname{arctg} h}{h}.
Simplificando \frac{\sqrt{h}\,\operatorname{arctg} h}{h}=\frac{\operatorname{arctg} h}{\sqrt{h}}. Para h\to 0^+, \operatorname{arctg} h\sim h, então a expressão é equivalente a \frac{h}{\sqrt{h}}=\sqrt{h}\to 0. Portanto
f'(0)=0.
No sentido usual de derivada em extremo do domínio (derivada direcional para a direita), esse valor existe e é 0.

Resposta

Para x>0: f'(x)=\frac{\operatorname{arctg} x}{2\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{1+x^2}=\frac{(1+x^2)\operatorname{arctg} x + 2x}{2\sqrt{x}\,(1+x^2)}.
Para x=0: f'(0)=0.

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