Calcule a derivada de cada função abaixo usando a regra de derivação adequada:
(f(x)=x^{\frac{1}{2}} \operatorname{arctg} x).
(f(x)=x^{\frac{1}{2}} \operatorname{arctg} x).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes dadas:
é a raiz quadrada de
(definida para
);
(arctan de
) está definida para todo
.
A função está definida para
. Vamos obter a expressão da derivada e indicar em que pontos essa expressão vale.
A função
Passo 2
Escolhemos aplicar a regra do produto porque
é produto de duas funções: uma função
multiplicada por outra
. A regra do produto diz o seguinte:
Explicando devagar:
é a derivada de
em relação a
e
é a derivada de
. A regra do produto surge ao diferenciar o produto usando limites, mas na prática você memorizou (ou deve usar) essa fórmula para provas.
Passo 3
Identificamos as duas funções do produto:
Passo 4
Calculamos
. Usamos a regra da potência: para qualquer expoente real
,
Aqui
. Então
Reescrevendo em forma mais familiar usando raiz:
Observação sobre domínio: essa expressão faz sentido para
. Em
o termo
fica infinito; trataremos
separadamente.
Passo 5
Calculamos
. Para
(arctan), existe uma fórmula clássica que podemos justificar rapidamente por derivação implícita:
se então
. Derivando em
:
se
Logo
Como
, temos
, então
. Portanto
Assim
está bem definida para todo
.
Passo 6
Aplicamos a regra do produto com os derivadas que já temos:
Substituindo
:
Ou, escrito de forma equivalente e mais elegante,
Essa expressão vale para
, porque contém
no denominador no primeiro termo.
Passo 7
Podemos juntar os dois termos numa única fração para ficar mais compacto. O denominador comum será
. Transformando cada parcela:
primeiro termo com denominador comum:
primeiro termo com denominador comum:
segundo termo com denominador comum:
Somando os numeradores:
Passo 8
Comentário sobre
: a expressão geral encontrada para
não é válida em
porque aparece
no denominador. Porém podemos calcular a derivada no ponto
diretamente pelo limite (definição):
Simplificando
. Para
,
, então a expressão é equivalente a
. Portanto
No sentido usual de derivada em extremo do domínio (derivada direcional para a direita), esse valor existe e é
.
Resposta
Para
:
Para
: