Calcule a derivada de cada função, usando as regras de derivação:
f(x)=e^cos (x^3)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=e^cosl(x^3r)
O conteúdo-chave aqui é a regra da cadeia, pois temos uma função composta em três níveis: xmapsto x^3, depois cos, depois e^(cdot).

Passo 2

Vamos decompor a composição em três partes:
  1. v(x)=x^3
  2. u(v)=cos(v)
  3. w(u)=e^u
Então f(x)=wl(ul(v(x)r)r).

Passo 3

Precisamos das derivadas de cada parte:
  • A derivada de v(x)=x^3 é
    v'(x)=3x^2.
  • A derivada de u(v)=cos(v) é
    u'(v)=-sin(v).
  • A derivada de w(u)=e^u é
    w'(u)=e^u.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia em sequência:
f'(x) = w'l(u(v(x))r),l[u'l(v(x)r)r],v'(x)
Substituindo:
f'(x) = e^cos(x^3) ;times; l[-sin(x^3)r] ;times; l[3x^2r]
Logo,
f'(x)=-3x^2,sin(x^3),e^cos(x^3)

Resposta

f'(x)=-3x^2sin(x^3),e^cos(x^3)

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