Determine o domínio e a imagem e esboce o gráfico de
f(x, y)=4 x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o domínio e a imagem da função
f(x,y)=4x^2+y^2
e um esboço do seu gráfico. O conteúdo envolve funções polinomiais em duas variáveis, identificação de domínio por continuidade e análise de mínimo para encontrar a imagem, além de descrição de superfícies em R^3.

Passo 2

Como é um polinômio em e , ela está definida para todos os pares .
Logo, o domínio é

Passo 3

Para a imagem, note que 4x^2>=0 e y^2>=0 para todo x,y. Assim
f(x,y)=4x^2+y^2>=0
Além disso, em (x,y)=(0,0) temos f(0,0)=0, atingindo o menor valor possível. Como para valores grandes de |(x,y)| a soma cresce sem limite, concluímos
Im(f)=[0,infty)

Passo 4

O gráfico de em é um paraboloide elíptico com vértice em que se abre para cima.
  • Seções horizontais (planos ) são elipses dadas por
  • Seções em planos ou são parábolas:
Esboço (vista em perspectiva):
As “curvas” desenhadas representam alguns contornos elípticos crescentes.

Resposta

Domínio: R^2
Imagem: [0,infty)
Gráfico: paraboloide elíptico com vértice em (0,0,0) que se abre para cima.

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