Determine o domínio e a imagem e esboce o gráfico de
Passo 1
O enunciado pede o domínio e a imagem da função
e um esboço do seu gráfico. O conteúdo envolve funções polinomiais em duas variáveis, identificação de domínio por continuidade e análise de mínimo para encontrar a imagem, além de descrição de superfícies em
.
Passo 2
Como
é um polinômio em
e
, ela está definida para todos os pares
.
Logo, o domínio é
Logo, o domínio é
Passo 3
Para a imagem, note que
e
para todo
. Assim
Além disso, em
temos
, atingindo o menor valor possível. Como para valores grandes de
a soma cresce sem limite, concluímos
Passo 4
O gráfico de
em
é um paraboloide elíptico com vértice em
que se abre para cima.
- Seções horizontais (planos
) são elipses dadas por - Seções em planos
ou são parábolas:
Esboço (vista em perspectiva):
As “curvas” desenhadas representam alguns contornos elípticos crescentes.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico: paraboloide elíptico com vértice em que se abre para cima.
Imagem:
Gráfico: paraboloide elíptico com vértice em