Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(f) f(x)=e^{x^{2}+3}+\ln e^{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=e^{x^{2}+3}+\ln\bigl(e^{x^{2}+1}\bigr).
Vamos usar que a derivada da soma é a soma das derivadas, a regra da cadeia para exponenciais e a propriedade do logaritmo natural.

Passo 2

Para e^{x^{2}+3} aplicamos a regra da cadeia: se g(x)=x^{2}+3 então
\frac{d}{dx}e^{g(x)}=g'(x)\,e^{g(x)}.
Aqui g'(x)=2x, logo
\frac{d}{dx}e^{x^{2}+3}=2x\,e^{x^{2}+3}.

Passo 3

Para \ln\bigl(e^{x^{2}+1}\bigr) usamos a identidade \ln(e^{u})=u, com u=x^{2}+1. Assim
\ln\bigl(e^{x^{2}+1}\bigr)=x^{2}+1
e sua derivada é
\frac{d}{dx}(x^{2}+1)=2x.

Resposta

f'(x)=2x\,e^{x^{2}+3}+2x.

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