Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(h) f(x)=\frac{\sqrt{x}}{e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{e^{x}}. O conteúdo é derivadas de funções, e vamos usar a reescrita em produto para aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevemos
f(x)=\frac{\sqrt{x}}{e^{x}}=x^{\tfrac12}\,e^{-x}.
Agora aplicaremos a regra do produto a u(x)=x^{\tfrac12} e v(x)=e^{-x}.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
u'(x)=\frac12\,x^{-\tfrac12}=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \qquad v'(x)=(e^{-x})'=-e^{-x}.
Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) =\frac{1}{2\sqrt{x}}e^{-x}-x^{\tfrac12}e^{-x} =e^{-x}\Bigl(\frac{1}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}\Bigr).
Fatorando \dfrac{e^{-x}}{2\sqrt{x}}, obtemos
f'(x)=\frac{e^{-x}}{2\sqrt{x}}\bigl(1-2x\bigr).

Resposta

f'(x)=\frac{e^{-x}}{2\sqrt{x}}\,(1-2x).

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