Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
f(x)=\frac{x^{3}}{3} \operatorname{arcsen} x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{x^{3}}{3}\,\operatorname{arcsen} x.
O conteúdo que vamos usar é a regra do produto e a derivada de \operatorname{arcsen} x, que é
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arcsen} x\bigr)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.

Passo 2

Identificamos as funções
u(x)=\frac{x^{3}}{3} \quad\text{e}\quad v(x)=\operatorname{arcsen} x.
Calculamos as derivadas de cada uma:
u'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x^{3}}{3}\Bigr)=x^{2},
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arcsen} x\bigr)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v':
f'(x)=x^{2}\,\operatorname{arcsen} x +\frac{x^{3}}{3}\,\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.

Resposta

f'(x)=x^{2}\,\operatorname{arcsen} x +\frac{x^{3}}{3\sqrt{1-x^{2}}}.

Exercícios relacionados