Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
f(x)=\operatorname{arctg} \frac{x}{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\operatorname{arctg}\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
Aqui vamos usar o conteúdo de regra da cadeia e a derivada da função arco-tangente.

Passo 2

Lembrando que, para u=u(x),
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{arctg}(u)\bigr] =\frac{u'}{1+u^2},
nós identificamos a função interior
u(x)=\tfrac{x}{2}.

Passo 3

Agora calculamos a derivada de u:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)=\tfrac12.

Passo 4

Aplicando a fórmula da derivada de \operatorname{arctg}(u):
f'(x) =\frac{u'(x)}{1+\bigl(u(x)\bigr)^2} =\frac{\tfrac12}{1+\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)^2}.

Passo 5

Basta simplificar a fração:
1+\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)^2 =1+\frac{x^2}{4} =\frac{4+x^2}{4},
portanto
f'(x) =\frac{\tfrac12}{\tfrac{4+x^2}{4}} =\frac12\cdot\frac{4}{4+x^2} =\frac{2}{x^2+4}.

Resposta

f'(x)=\frac{2}{x^2+4}.

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