Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
f(x)=(x+1) \operatorname{arctg} \sqrt{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=(x+1)\,\operatorname{arctg}(\sqrt{x}).
O conteúdo principal envolve a regra do produto e a regra da cadeia para diferenciar \operatorname{arctg}(\sqrt{x}).

Passo 2

Aplicando a regra do produto, temos
f'(x) = \bigl(x+1\bigr)' \,\operatorname{arctg}(\sqrt{x}) + (x+1)\,\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{arctg}(\sqrt{x})\bigr].
Como \bigl(x+1\bigr)'=1, fica
f'(x) = \operatorname{arctg}(\sqrt{x}) + (x+1)\,\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{arctg}(\sqrt{x})\bigr].

Passo 3

Para derivar \operatorname{arctg}(\sqrt{x}), use a cadeia:
defina u=\sqrt{x}=x^{1/2}, então
u'=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \qquad \frac{d}{du}\bigl[\operatorname{arctg}(u)\bigr]=\frac{1}{1+u^2}.
Logo
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{arctg}(\sqrt{x})\bigr] = u' \cdot \frac{1}{1+u^2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\;\frac{1}{1+(\sqrt{x})^2} = \frac{1}{2\sqrt{x}\,(1+x)}.

Passo 4

Substituindo em f'(x):
f'(x) = \operatorname{arctg}(\sqrt{x}) + (x+1)\,\frac{1}{2\sqrt{x}\,(1+x)} = \operatorname{arctg}(\sqrt{x}) + \frac{x+1}{2\sqrt{x}\,(1+x)}.
Como \frac{x+1}{1+x}=1, simplifica para
f'(x)=\operatorname{arctg}(\sqrt{x}) + \frac{1}{2\sqrt{x}}.

Resposta

f'(x)=\operatorname{arctg}(\sqrt{x}) + \frac{1}{2\sqrt{x}}.

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