Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(a) f(x)=\operatorname{sen}^{2} 3 x+\operatorname{coth}^{5} 2 x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sin^{2}(3x)+\coth^{5}(2x).
O conteúdo que vamos usar é a regra da cadeia e as derivadas básicas
– de \sin(u), de \coth(u) e das potências.

Passo 2

Derivando o primeiro termo \sin^{2}(3x):
seja u=\sin(3x), então \sin^{2}(3x)=u^{2}. Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl(u^{2}\bigr)=2u\cdot\frac{du}{dx}.
Mas
\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\bigl(\sin(3x)\bigr) =\cos(3x)\cdot\frac{d}{dx}(3x) =3\cos(3x).
Logo,
\frac{d}{dx}\bigl(\sin^{2}(3x)\bigr) =2\,\sin(3x)\times3\cos(3x) =6\sin(3x)\cos(3x).

Passo 3

Derivando o segundo termo \coth^{5}(2x):
seja v=\coth(2x), então \coth^{5}(2x)=v^{5}. Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl(v^{5}\bigr)=5v^{4}\cdot\frac{dv}{dx}.
E sabemos que
\frac{dv}{dx}=\frac{d}{dx}\bigl(\coth(2x)\bigr) =-\csch^{2}(2x)\cdot\frac{d}{dx}(2x) =-2\,\csch^{2}(2x).
Portanto,
\frac{d}{dx}\bigl(\coth^{5}(2x)\bigr) =5\,\coth^{4}(2x)\times\bigl(-2\,\csch^{2}(2x)\bigr) =-10\,\coth^{4}(2x)\,\csch^{2}(2x).

Passo 4

Somando as derivadas dos dois termos, obtemos
f'(x) =6\sin(3x)\cos(3x)\;-\;10\,\coth^{4}(2x)\,\csch^{2}(2x).

Resposta

f'(x)=6\sin(3x)\cos(3x)-10\,\coth^{4}(2x)\,\csch^{2}(2x).

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