Determine a equação da reta que é tangente ao gráfico de f(x)=x^{2}+1 e perpendicular a reta y=-\frac{1}{2} x+\frac{7}{2}.
DICA: Se m_{1} é o coeficiente angular da reta r e m_{2} é o coeficiente angular de s. Se r e s são perpendiculares, então m_{1} \cdot m_{2}=-1.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de f(x)=x^{2}+1 que seja perpendicular à reta dada y=-\tfrac12x+\tfrac72. Vamos usar duas ferramentas:
  1. Derivada de f para encontrar o coeficiente angular da tangente.
  2. Condição de perpendicularidade de retas: se m_{1} e m_{2} são os coeficientes angulares, então
m_{1}\cdot m_{2}=-1.

Passo 2

Identificamos o coeficiente angular da reta dada:
m_{2}=-\frac12.
Queremos m_{1} tal que
m_{1}\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)=-1 \quad\Longrightarrow\quad m_{1}=2.

Passo 3

Para que a reta seja tangente a f, seu coeficiente angular deve ser f'(x). Calculamos
f'(x)=2x
e igualamos a m_{1}=2:
2x=2 \quad\Longrightarrow\quad x=1.
O ponto de tangência é \bigl(1,\,f(1)\bigr) com
f(1)=1^{2}+1=2.
Logo o ponto é (1,2).

Passo 4

A equação da reta tangente passa por (1,2) e tem coeficiente angular 2. Usando a forma ponto-inclinação:
y-2=2\,(x-1) \quad\Longrightarrow\quad y=2x.

Resposta

A reta buscada é
y=2x.

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