Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(n) f(x)=\frac{\operatorname{sen}^{4} 2 x}{\cos ^{3} 3 x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\dfrac{\operatorname{sen}^{4}(2x)}{\cos^{3}(3x)}.
O conteúdo aqui é aplicação da regra do produto (ou quociente) junto com a regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevemos
f(x)=\operatorname{sen}^{4}(2x)\,\cos^{-3}(3x)
para usar produto de duas funções: u(x)=\operatorname{sen}^{4}(2x) e v(x)=\cos^{-3}(3x).

Passo 3

Calcular u'(x) usando regra da cadeia duas vezes:
primeiro \bigl[\operatorname{sen}(2x)\bigr]^{4}
– derivada de w^{4} é 4w^{3}w',
e derivada de \operatorname{sen}(2x) é \cos(2x)\cdot2.
Logo,
u'(x) =4\,\operatorname{sen}^{3}(2x)\,\bigl[\cos(2x)\cdot2\bigr] =8\,\operatorname{sen}^{3}(2x)\,\cos(2x).

Passo 4

Calcular v'(x) de \cos^{-3}(3x):
derivada de z^{-3} é -3z^{-4}z',
e derivada de \cos(3x) é -\operatorname{sen}(3x)\cdot3.
Portanto,
v'(x) =-3\,\cos^{-4}(3x)\,\bigl[-\operatorname{sen}(3x)\cdot3\bigr] =9\,\operatorname{sen}(3x)\,\cos^{-4}(3x).

Passo 5

Aplicar a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v':
f'(x) =8\,\operatorname{sen}^{3}(2x)\cos(2x)\,\cos^{-3}(3x) +9\,\operatorname{sen}^{4}(2x)\,\operatorname{sen}(3x)\,\cos^{-4}(3x).
Para simplificar, fatoramos \operatorname{sen}^{3}(2x)\cos^{-4}(3x):
f'(x) =\operatorname{sen}^{3}(2x)\,\cos^{-4}(3x)\,\bigl[8\cos(2x)\cos(3x) +9\operatorname{sen}(2x)\operatorname{sen}(3x)\bigr].

Resposta

f'(x) =\dfrac{\operatorname{sen}^{3}(2x)}{\cos^{4}(3x)}\, \bigl[8\cos(2x)\cos(3x)+9\operatorname{sen}(2x)\operatorname{sen}(3x)\bigr].

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