Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(q) f(x)=\operatorname{sen}^{3} 4 x+\operatorname{cotg}^{5} 4 x

Passo 1

Temos f(x)=\sin^{3}(4x)+\cot^{5}(4x). O conteúdo aqui é derivada de funções compostas usando a regra da potência e a regra da cadeia, além das derivadas fundamentais de \sin(u) e de \cot(u).

Passo 2

Vamos derivar o primeiro termo \sin^{3}(4x). Aplicando a regra da potência e, em seguida, a regra da cadeia, temos:
\frac{d}{dx}\bigl[\sin^{3}(4x)\bigr] =3\,\sin^{2}(4x)\,\frac{d}{dx}\bigl[\sin(4x)\bigr] =3\,\sin^{2}(4x)\,\bigl(\cos(4x)\cdot4\bigr) =12\,\sin^{2}(4x)\,\cos(4x).

Passo 3

Agora derivamos o segundo termo \cot^{5}(4x). De novo, usamos potência e cadeia, sabendo que \frac{d}{du}\cot(u)=-\csc^{2}(u):
\frac{d}{dx}\bigl[\cot^{5}(4x)\bigr] =5\,\cot^{4}(4x)\,\frac{d}{dx}\bigl[\cot(4x)\bigr] =5\,\cot^{4}(4x)\,\bigl(-\csc^{2}(4x)\cdot4\bigr) =-20\,\cot^{4}(4x)\,\csc^{2}(4x).

Passo 4

Somando as duas derivadas, obtemos
f'(x) =12\,\sin^{2}(4x)\,\cos(4x) -20\,\cot^{4}(4x)\,\csc^{2}(4x).

Resposta

f'(x)=12\,\sin^{2}(4x)\,\cos(4x)\;-\;20\,\cot^{4}(4x)\,\csc^{2}(4x).

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