Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(f) f(x)=\sqrt{x^{2}+3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=\sqrt{x^{2}+3}
Este é um caso de função composta, onde usamos a regra da cadeia junto com a regra do poder (expoente).

Passo 2

Definimos uma função intermediária
u(x)=x^{2}+3,
de modo que
f(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{\tfrac12}.
Pela regra da cadeia,
f'(x)=\frac{d}{du}\bigl(u^{\tfrac12}\bigr)\cdot u'(x).

Passo 3

Calculamos cada parte:
\frac{d}{du}\bigl(u^{\tfrac12}\bigr)=\frac12\,u^{-\tfrac12},
e
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+3\bigr)=2x.
Substituindo em f'(x), obtemos
f'(x)=\frac12\,u^{-\tfrac12}\cdot 2x =x\,u^{-\tfrac12} =\frac{x}{\sqrt{u}} =\frac{x}{\sqrt{x^{2}+3}}.

Resposta

f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+3}}.

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