Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(u) f(x)=\sqrt{\operatorname{sec} ^{2} x+\operatorname{tg}^{2} x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sqrt{\operatorname{sec}^2 x+\tan^2 x}.
Aqui vamos usar a regra da cadeia para raízes e as derivadas das funções trigonométricas \operatorname{sec} x e \tan x.

Passo 2

Antes de derivar, note que
\operatorname{sec}^2 x = 1 + \tan^2 x,
logo
\operatorname{sec}^2 x + \tan^2 x = 1 + 2\,\tan^2 x.
Assim podemos reescrever
f(x)=\sqrt{1 + 2\,\tan^2 x}.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para f(x)=\sqrt{u(x)}, temos
f'(x)=\frac{1}{2\,\sqrt{u(x)}}\;u'(x),
onde u(x)=1+2\,\tan^2 x.

Passo 4

Agora calculamos u'(x). Como
u(x)=1+2\,\tan^2 x,
usa­se a derivada de \tan^2 x:
\frac{d}{dx}\bigl(\tan^2 x\bigr)=2\,\tan x\cdot\operatorname{sec}^2 x.
Logo
u'(x)=2\cdot\bigl(2\,\tan x\operatorname{sec}^2 x\bigr) =4\,\tan x\,\operatorname{sec}^2 x.

Passo 5

Substituindo em
f'(x)=\frac{1}{2\,\sqrt{1+2\,\tan^2 x}}\;4\,\tan x\,\operatorname{sec}^2 x
obtemos
f'(x) =\frac{4\,\tan x\,\operatorname{sec}^2 x}{2\,\sqrt{1+2\,\tan^2 x}} =\frac{2\,\operatorname{sec}^2 x\,\tan x}{\sqrt{1+2\,\tan^2 x}}.
E, voltando ao radicando original, dá o mesmo que
f'(x)=\frac{2\,\operatorname{sec}^2 x\,\tan x}{\sqrt{\operatorname{sec}^2 x+\tan^2 x}}.

Resposta

f'(x)=\frac{2\,\operatorname{sec}^2 x\,\tan x}{\sqrt{\operatorname{sec}^2 x+\tan^2 x}}.

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