Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(w) f(x)=\cos ^{2} x+5 \operatorname{sen}^{3} x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função \displaystyle f(x)=\cos^{2}x + 5\,\operatorname{sen}^{3}x.
O conteúdo envolve regra do poder, regra da cadeia e as derivadas de \cos x e de \operatorname{sen}x.

Passo 2

Vamos derivar o primeiro termo g(x)=\cos^{2}x. Seja u(x)=\cos x, então g(x)=u^{2}. Aplicando
(g)' = 2u\cdot u'
temos
u' = (\cos x)' = -\sin x \quad\Longrightarrow\quad g'(x) = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\cos x\,\sin x.

Passo 3

Agora o segundo termo h(x)=5\,\operatorname{sen}^{3}x. Seja v(x)=\operatorname{sen}x, então h(x)=5\,v^{3}. Pela regra do poder e da cadeia:
h'(x) = 5\cdot 3\,v^{2}\cdot v'
e como
v' = (\operatorname{sen}x)' = \cos x,
segue
h'(x) = 15\,\operatorname{sen}^{2}x\;\cos x.

Passo 4

Somando as duas derivadas obtemos
f'(x) = g'(x) + h'(x) = -2\cos x\,\sin x + 15\,\sin^{2}x\,\cos x.
Se preferir, dá para fatorar \cos x\,\sin x:
f'(x) = \cos x\,\sin x\,(15\,\sin x - 2).

Resposta

f'(x) = -2\cos x\,\sin x + 15\,\sin^{2}x\,\cos x \quad\text{ou}\quad f'(x) = \cos x\,\sin x\,(15\,\sin x - 2).

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