Calcule a derivada de cada uma das funções:.
H(t)=4 t^{4}-t^{3}+t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função H em relação a t. A função dada é:
H(t)=4 t^{4}-t^{3}+t.
Informações relevantes fornecidas:
  • Há três termos: 4 t^{4}, -t^{3} e t.
  • Quer-se a derivada H'(t), isto é, a função que fornece a taxa de variação de H em cada ponto t.

Passo 2

Vou explicar as regras que vamos usar (de um jeito simples e prático).
Regra da definição (intuição): a derivada de H em t pode ser definida por
H'(t)=\lim_{h\to0}\frac{H(t+h)-H(t)}{h},
mas na prática para polinômios usamos regras mais rápidas, equivalentes a partir dessa definição.
Regra do poder (power rule): para um inteiro n\ge0,
\text{se }f(t)=t^{n}\text{ então }f'(t)=n\,t^{n-1}.ã
Explicação curta e intuitiva: pela expansão binomial (t+h)^{n}=t^{n}+n t^{n-1}h+\text{termos com }h^{2}, dividindo por h e fazendo h\to0 sobra apenas n t^{n-1}.
Regra do múltiplo constante (constant multiple): se g(t)=a\cdot f(t) com a constante, então
g'(t)=a\cdot f'(t).
Regra da soma (linearity): a derivada da soma é a soma das derivadas:
\big(f(t)+g(t)\big)'=f'(t)+g'(t).
Derivada de t (caso-base): usando a regra do poder com n=1,
\big(t\big)'=1\cdot t^{0}=1.
Derivada de uma constante: se c é constante então c'=0.
Essas regras são suficientes para derivar o polinômio dado.

Passo 3

Vamos aplicar as regras termo a termo.
Termo 1: 4 t^{4}.
  • Pelo constante multiplicativa, a derivada é 4 vezes a derivada de t^{4}.
  • Pela regra do poder, \big(t^{4}\big)'=4\,t^{3}.
  • Portanto a derivada do primeiro termo é
\big(4 t^{4}\big)'=4\cdot\big(4 t^{3}\big)=16 t^{3}.
Termo 2: -t^{3}.
  • Esse é -1 vezes t^{3}. Pela constante multiplicativa e pela regra do poder,
\big(-t^{3}\big)'=-1\cdot\big(3 t^{2}\big)=-3 t^{2}.
Termo 3: t.
  • Já vimos que \big(t\big)'=1.
  • Logo \big(t\big)'=1.

Passo 4

Somando as derivadas de cada termo (regra da soma), obtemos
H'(t)=16 t^{3}-3 t^{2}+1.
Opcionalmente, pode-se escrever fatorando t^{2}:
H'(t)=t^{2}\big(16 t-3\big)+1,
mas normalmente a forma expandida é a mais direta.

Resposta

H'(t)=16 t^{3}-3 t^{2}+1

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