Calcule a derivada de cada uma das funções:.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
em relação a
. A função dada é:
Informações relevantes fornecidas:
- Há três termos:
, e . - Quer-se a derivada
, isto é, a função que fornece a taxa de variação de em cada ponto .
Passo 2
Vou explicar as regras que vamos usar (de um jeito simples e prático).
Regra da definição (intuição): a derivada de
em
pode ser definida por
mas na prática para polinômios usamos regras mais rápidas, equivalentes a partir dessa definição.
Regra do poder (power rule): para um inteiro
,
Explicação curta e intuitiva: pela expansão binomial
, dividindo por
e fazendo
sobra apenas
.
Regra do múltiplo constante (constant multiple): se
com
constante, então
Regra da soma (linearity): a derivada da soma é a soma das derivadas:
Derivada de
(caso-base): usando a regra do poder com
,
Derivada de uma constante: se
é constante então
.
Essas regras são suficientes para derivar o polinômio dado.
Passo 3
Vamos aplicar as regras termo a termo.
Termo 1:
.
- Pelo constante multiplicativa, a derivada é
vezes a derivada de . - Pela regra do poder,
. - Portanto a derivada do primeiro termo é
Termo 2:
.
- Esse é
vezes . Pela constante multiplicativa e pela regra do poder,
Termo 3:
.
- Já vimos que
. - Logo
.
Passo 4
Somando as derivadas de cada termo (regra da soma), obtemos
Opcionalmente, pode-se escrever fatorando
:
mas normalmente a forma expandida é a mais direta.