Calcule a derivada de cada uma das funções:.
Passo 1
O enunciado dá a função e pede a derivada. Informações fornecidas:
- A função é
. - Domínio natural:
(porque aparece divisão por ).
O que se pede: calcular, a derivada de em termos de .
Passo 2
Regras e fórmulas que vou usar (explicadas devagar, como gosto):
- Linearidade da derivada: a derivada da soma é a soma das derivadas e constantes saem da derivada. Em fórmulas:
onde
é uma constante,
e
são funções de
.
- Regra da potência (power rule): para uma função potência
(onde é um número real), a derivada é
Aqui
é o expoente e
é a variável. Essa fórmula é a ferramenta principal para derivar potências como
ou
.
Exemplo rápido para fixar: aplicando a regra da potência em ,
Exemplo rápido para fixar: aplicando a regra da potência em
Tudo certo? Bora aplicar.
Passo 3
Antes de derivar, reescrevo os termos como potências (isso facilita o uso da regra da potência):
Logo
Passo 4
Aplico a linearidade e a regra da potência termo a termo.
- Derivada do primeiro termo
:
Aqui usei
em
.
- Derivada do segundo termo
: tiro a constante para fora e aplico a regra da potência a :
Passo 5
Somando as derivadas dos dois termos:
Agora simplifico colocando em uma única fração. Fatoro
:
Voltando a forma em fração (lembrando que
):
Também é comum escrever puxando o sinal negativo:
Passo 6
Pequena checagem numérica para ganhar confiança: se
,
o que bate se calcularmos direto das expressões anteriores. Lembre-se: válidos para
.