Calcule a derivada de cada uma das funções:.
F(x)=\frac{1}{x^{2}}+\frac{3}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado dá a função e pede a derivada. Informações fornecidas:
  • A função é \displaystyle F(x)=\frac{1}{x^{2}}+\frac{3}{x^{3}}.
  • Domínio natural: x\neq 0 (porque aparece divisão por x).
    O que se pede: calcular F'(x), a derivada de F em termos de x.

Passo 2

Regras e fórmulas que vou usar (explicadas devagar, como gosto):
  • Linearidade da derivada: a derivada da soma é a soma das derivadas e constantes saem da derivada. Em fórmulas:
\frac{d}{dx}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=\frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}g(x), \qquad \frac{d}{dx}\bigl(c\cdot f(x)\bigr)=c\cdot\frac{d}{dx}f(x),
onde c é uma constante, f e g são funções de x.
  • Regra da potência (power rule): para uma função potência x^{n} (onde n é um número real), a derivada é
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Aqui n é o expoente e x é a variável. Essa fórmula é a ferramenta principal para derivar potências como x^{-2} ou x^{-3}.
Exemplo rápido para fixar: aplicando a regra da potência em x^{3},
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2}.
Tudo certo? Bora aplicar.

Passo 3

Antes de derivar, reescrevo os termos como potências (isso facilita o uso da regra da potência):
\frac{1}{x^{2}}=x^{-2},\qquad \frac{3}{x^{3}}=3x^{-3}.
Logo
F(x)=x^{-2}+3x^{-3}.

Passo 4

Aplico a linearidade e a regra da potência termo a termo.
  • Derivada do primeiro termo x^{-2}:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-2}\bigr) = -2\,x^{-3}.
Aqui usei n=-2 em \frac{d}{dx}(x^{n})=n x^{n-1}.
  • Derivada do segundo termo 3x^{-3}: tiro a constante 3 para fora e aplico a regra da potência a x^{-3}:
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{-3}\bigr)=3\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{-3}\bigr)=3\cdot(-3)\,x^{-4}=-9\,x^{-4}.

Passo 5

Somando as derivadas dos dois termos:
F'(x) = -2\,x^{-3} -9\,x^{-4}.
Agora simplifico colocando em uma única fração. Fatoro x^{-4}:
F'(x)=x^{-4}\bigl(-2x-9\bigr).
Voltando a forma em fração (lembrando que x^{-4}=\dfrac{1}{x^{4}}):
F'(x)=\frac{-2x-9}{x^{4}}.
Também é comum escrever puxando o sinal negativo:
F'(x)=-\frac{2x+9}{x^{4}}.

Passo 6

Pequena checagem numérica para ganhar confiança: se x=1,
F'(1)=-\frac{2\cdot1+9}{1^{4}}=-11,
o que bate se calcularmos direto das expressões anteriores. Lembre-se: válidos para x\neq 0.

Resposta

F'(x)=-\frac{2x+9}{x^{4}}

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