Calcule a derivada de cada uma das funções:.
g(x)=x^{3}-x^{2}+2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. As informações fornecidas são:
  • A função é g(x)=x^{3}-x^{2}+2.
    O que se quer: encontrar g'(x) (ou \dfrac{dg}{dx}), a derivada de g em função de x.

Passo 2

Vou lembrar algumas regras básicas de derivação que vou usar (explicadas de forma simples):
  • Definição (intuição): a derivada de g em x mede a inclinação da reta tangente à curva de g em x e pode ser definida por
g'(x)=\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}.
Aqui h é um pequeno incremento em x; a razão de diferença dá a taxa média de variação e o limite dá a taxa instantânea.
  • Linearidade (soma e constante): a derivada da soma é a soma das derivadas, e uma constante sai da derivada:
\frac{d}{dx}\big(f(x)+u(x)\big)=f'(x)+u'(x),\qquad \frac{d}{dx}\big(c\cdot f(x)\big)=c\cdot f'(x),
onde c é uma constante (número).
  • Regra do termo constante: a derivada de uma constante é zero:
\frac{d}{dx}\text{(C)}=0\quad\text{para constante }C.
  • Regra do poder (power rule): para um inteiro positivo n,
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{n-1}.
Aqui n é o expoente e x a variável; essa regra é resultado direto da definição por limite (ou do teorema binomial para inteiros).
Vou aplicar essas regras termo a termo em g(x)=x^{3}-x^{2}+2.

Passo 3

Derivada do primeiro termo \;x^{3}\; pelo uso direto da definição (mostro como funciona, é a mesma ideia que justifica a regra do poder):
Calcular
\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}.
Expandindo (x+h)^{3} (binômio de Newton):
(x+h)^{3}=x^{3}+3x^{2}h+3x h^{2}+h^{3}.
Substituindo,
\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}=\frac{3x^{2}h+3x h^{2}+h^{3}}{h}=3x^{2}+3x h+h^{2}.
Tomando o limite h\to0:
\lim_{h\to0}\big(3x^{2}+3x h+h^{2}\big)=3x^{2}.
Portanto:
\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=3x^{2}.

Passo 4

Derivada do segundo termo \;-x^{2}\;. Uso a regra do fator constante e a regra do poder:
  • Primeiro, \dfrac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=2x pela regra do poder com n=2.
  • Então, como há um sinal negativo (constante -1 multiplicando), pela linearidade:
\frac{d}{dx}\big(-x^{2}\big)=-1\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=-1\cdot 2x=-2x.

Passo 5

Derivada do terceiro termo, a constante 2. Pela regra do termo constante:
\frac{d}{dx}(2)=0.

Passo 6

Juntando as derivadas termo a termo (soma das derivadas):
g'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)+\frac{d}{dx}\big(-x^{2}\big)+\frac{d}{dx}(2)=3x^{2}-2x+0.
Podemos simplificar escrevendo
g'(x)=3x^{2}-2x.
Dica extra para a prova: se quiser factorar, dá para escrever g'(x)=x(3x-2), o que às vezes facilita estudo de sinais ou zeros da derivada.

Resposta

g'(x)=3x^{2}-2x

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