Calcule a derivada de cada uma das funções:.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. As informações fornecidas são:
- A função é
.
O que se quer: encontrar(ou ), a derivada de em função de .
Passo 2
Vou lembrar algumas regras básicas de derivação que vou usar (explicadas de forma simples):
- Definição (intuição): a derivada de
em mede a inclinação da reta tangente à curva de em e pode ser definida por
Aqui
é um pequeno incremento em
; a razão de diferença dá a taxa média de variação e o limite dá a taxa instantânea.
- Linearidade (soma e constante): a derivada da soma é a soma das derivadas, e uma constante sai da derivada:
onde
é uma constante (número).
- Regra do termo constante: a derivada de uma constante é zero:
- Regra do poder (power rule): para um inteiro positivo
,
Aqui
é o expoente e
a variável; essa regra é resultado direto da definição por limite (ou do teorema binomial para inteiros).
Vou aplicar essas regras termo a termo em
.
Passo 3
Derivada do primeiro termo
pelo uso direto da definição (mostro como funciona, é a mesma ideia que justifica a regra do poder):
Calcular
Calcular
Expandindo
(binômio de Newton):
Substituindo,
Tomando o limite
:
Portanto:
Passo 4
Derivada do segundo termo
. Uso a regra do fator constante e a regra do poder:
- Primeiro,
pela regra do poder com . - Então, como há um sinal negativo (constante
multiplicando), pela linearidade:
Passo 5
Derivada do terceiro termo, a constante
. Pela regra do termo constante:
Passo 6
Juntando as derivadas termo a termo (soma das derivadas):
Podemos simplificar escrevendo
Dica extra para a prova: se quiser factorar, dá para escrever
, o que às vezes facilita estudo de sinais ou zeros da derivada.