Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções, usando as regras de derivação:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
.
Informações dadas: a expressão de com três termos — dois polinomiais e uma constante. O que se pede: encontrar
, a derivada de
em função de
.
Informações dadas: a expressão de
Passo 2
O que é derivada, na prática da prova: a derivada
mede a taxa de variação de
em relação a
. Aqui vamos usar regras prontas de derivação (sem recorrer à definição por limite em cada termo), que simplificam muito o cálculo quando a função é soma de potências de
.
Passo 3
Regras que vamos usar (explicadas):
- Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja,
Isso significa que podemos derivar termo a termo.
- Regra do fator constante: se uma função é um número multiplicando outra função, o número sai da derivada:
onde
é uma constante (número real).
- Derivada de constante: para qualquer constante
,
Essas regras permitem simplificar bastante o trabalho.
Passo 4
Regra da potência (fundamental aqui): para um expoente inteiro positivo
,
Explicando por que, de forma curta e intuitiva: usando a expansão binomial,
dividindo por
e fazendo
, só fica o termo
. Aqui
é o expoente (número inteiro positivo) e
é a variável. Essa regra é a que vamos aplicar a cada potência de
.
Passo 5
Agora aplicamos as regras termo a termo à função
.
Primeiro termo:
.
- Separe o fator constante
e aplique a regra da potência a :
Passo 6
Segundo termo:
.
- Novamente, constante
vezes . Aplicando a regra:
Terceiro termo:
(constante).
Passo 7
Somando as derivadas termo a termo (regra da soma):
Simplificando:
Opcional: fatorando um fator comum
,