Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções, usando as regras de derivação:
f(x)=2 x^{5}+5 x^{2}+10

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=2x^{5}+5x^{2}+10.
Informações dadas: a expressão de f(x) com três termos — dois polinomiais e uma constante. O que se pede: encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

O que é derivada, na prática da prova: a derivada f'(x) mede a taxa de variação de f em relação a x. Aqui vamos usar regras prontas de derivação (sem recorrer à definição por limite em cada termo), que simplificam muito o cálculo quando a função é soma de potências de x.

Passo 3

Regras que vamos usar (explicadas):
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja,
\frac{d}{dx}\bigl(g(x)+h(x)\bigr)=\frac{d}{dx}g(x)+\frac{d}{dx}h(x).
Isso significa que podemos derivar termo a termo.
  • Regra do fator constante: se uma função é um número multiplicando outra função, o número sai da derivada:
\frac{d}{dx}\bigl(c\cdot g(x)\bigr)=c\cdot\frac{d}{dx}g(x),
onde c é uma constante (número real).
  • Derivada de constante: para qualquer constante C,
\frac{d}{dx}C=0.
Essas regras permitem simplificar bastante o trabalho.

Passo 4

Regra da potência (fundamental aqui): para um expoente inteiro positivo n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
Explicando por que, de forma curta e intuitiva: usando a expansão binomial,
(x+h)^{n}-x^{n}=n x^{n-1}h+\text{termos com }h^{2},h^{3},\dots,
dividindo por h e fazendo h\to0, só fica o termo n x^{n-1}. Aqui n é o expoente (número inteiro positivo) e x é a variável. Essa regra é a que vamos aplicar a cada potência de x.

Passo 5

Agora aplicamos as regras termo a termo à função f(x)=2x^{5}+5x^{2}+10.
Primeiro termo: \,2x^{5}.
  • Separe o fator constante 2 e aplique a regra da potência a x^{5}:
\frac{d}{dx}\bigl(2x^{5}\bigr)=2\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{5}\bigr)=2\cdot(5x^{4})=10x^{4}.

Passo 6

Segundo termo: \,5x^{2}.
  • Novamente, constante 5 vezes x^{2}. Aplicando a regra:
\frac{d}{dx}\bigl(5x^{2}\bigr)=5\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=5\cdot(2x)=10x.
Terceiro termo: \,10 (constante).
\frac{d}{dx}(10)=0.

Passo 7

Somando as derivadas termo a termo (regra da soma):
f'(x)=10x^{4}+10x+0.
Simplificando:
f'(x)=10x^{4}+10x.
Opcional: fatorando um fator comum 10x,
f'(x)=10x\bigl(x^{3}+1\bigr).

Resposta

f'(x)=10x^{4}+10x

Exercícios relacionados