Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções, usando as regras de derivação:
f(x)=3 x+5 x^{2}+x^{4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=3 x+5 x^{2}+x^{4}.
  • A tarefa é encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

O que é a derivada, em palavras simples: a derivada f'(x) é a função que dá a inclinação (ou taxa de variação instantânea) da curva y=f(x) em cada ponto x. Formalmente, a derivada é definida por
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
mas em provas normalmente usa-se regras prontas (que vêm dessa definição) para calcular derivadas sem refazer o limite toda vez. Vou usar essas regras.

Passo 3

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicadas com calma):
  • Regra da soma (linearidade): a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se g(x)=u(x)+v(x) então g'(x)=u'(x)+v'(x).
  • Regra da constante vezes função: a derivada de uma constante multiplicando uma função é a constante vezes a derivada da função. Se g(x)=c\cdot u(x) então g'(x)=c\cdot u'(x), onde c é constante.
  • Regra do poder (power rule): para um inteiro n\ge0,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Isso significa: baixa o expoente na frente (multiplica), e diminui o expoente em uma unidade.
Vou aplicar essas regras termo a termo na função f(x)=3 x+5 x^{2}+x^{4}.

Passo 4

Derivada do primeiro termo 3x.
  • Aqui é uma constante 3 multiplicando x. A derivada de x é 1 (porque \dfrac{d}{dx}x=1).
  • Aplicando a regra da constante:
\frac{d}{dx}\bigl(3x\bigr)=3\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)=3\cdot 1=3.

Passo 5

Derivada do segundo termo 5x^{2}.
  • Use a regra do poder com n=2 e a constante 5:
\frac{d}{dx}\bigl(5x^{2}\bigr)=5\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=5\cdot\bigl(2x^{1}\bigr)=10x.
  • Nota: x^{1} normalmente escrevemos apenas x, então o resultado é 10x.

Passo 6

Derivada do terceiro termo x^{4}.
  • Aqui a constante multiplicadora é 1. Pelo power rule com n=4:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)=4x^{3}.

Passo 7

Somando as derivadas termo a termo (regra da soma):
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(5x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)=3+10x+4x^{3}.
Podemos escrever em ordem decrescente de potências:
f'(x)=4x^{3}+10x+3.

Passo 8

Pequena checagem numérica rápida (opcional, só para ganhar confiança): por exemplo, em x=1,
f'(1)=4\cdot1^{3}+10\cdot1+3=4+10+3=17,
ou seja, a inclinação da curva em x=1 é 17. Isso faz sentido: termos de maior potência dominam a taxa de variação para x grandes.

Passo 9

Dica para a prova (resumindo, estilo checklist rápido): para polinômios, derive termo a termo usando o power rule; multiplique o coeficiente pelo expoente e diminua o expoente em 1. Simples e rápido.

Resposta

f'(x)=4x^{3}+10x+3

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