Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções, usando as regras de derivação:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. Informações fornecidas:
- A função é
. - A tarefa é encontrar
, a derivada de em função de .
Passo 2
O que é a derivada, em palavras simples: a derivada
é a função que dá a inclinação (ou taxa de variação instantânea) da curva
em cada ponto
. Formalmente, a derivada é definida por
mas em provas normalmente usa-se regras prontas (que vêm dessa definição) para calcular derivadas sem refazer o limite toda vez. Vou usar essas regras.
Passo 3
Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicadas com calma):
- Regra da soma (linearidade): a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
então . - Regra da constante vezes função: a derivada de uma constante multiplicando uma função é a constante vezes a derivada da função. Se
então , onde é constante. - Regra do poder (power rule): para um inteiro
,
Isso significa: baixa o expoente na frente (multiplica), e diminui o expoente em uma unidade.
Vou aplicar essas regras termo a termo na função
.
Passo 4
Derivada do primeiro termo
.
- Aqui é uma constante
multiplicando . A derivada de é (porque ). - Aplicando a regra da constante:
Passo 5
Derivada do segundo termo
.
- Use a regra do poder com
e a constante :
- Nota:
normalmente escrevemos apenas , então o resultado é .
Passo 6
Derivada do terceiro termo
.
- Aqui a constante multiplicadora é
. Pelo power rule com :
Passo 7
Somando as derivadas termo a termo (regra da soma):
Podemos escrever em ordem decrescente de potências:
Passo 8
Pequena checagem numérica rápida (opcional, só para ganhar confiança): por exemplo, em
,
ou seja, a inclinação da curva em
é
. Isso faz sentido: termos de maior potência dominam a taxa de variação para
grandes.
Passo 9
Dica para a prova (resumindo, estilo checklist rápido): para polinômios, derive termo a termo usando o power rule; multiplique o coeficiente pelo expoente e diminua o expoente em 1. Simples e rápido.