Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções, usando as regras de derivação:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada dessa função. Informações relevantes que temos:
- A função é uma exponencial com base
(base constante) e expoente (variável). - Não há outros dados: só é pedido
.
Passo 2
Uma técnica padrão e muito útil para derivar
(com
constante) é reescrever a função usando a exponencial natural. Vamos usar a identidade
onde
é o logaritmo natural de
. Aqui:
-
é a base dos logaritmos naturais (constante), -
é um número fixo quando é dado (no nosso caso é uma constante).
Aplicando essa ideia à nossa função:
Passo 3
Agora precisamos da regra de diferenciação para
. A regra (cadeia) diz:
Explicando de forma bem simples:
-
é qualquer função de ; -
é a derivada dessa função ; - a derivada de
é a própria função multiplicada pela derivada de (isso é a regra da cadeia aplicada à exponencial).
Passo 4
Identificamos em
a função interior
Agora calculamos
. Como
é uma constante, a derivada de
em relação a
é simplesmente essa constante:
(Isto vem da regra de que
quando
é constante.)
Passo 5
Aplicando a regra do Passo 3:
Voltando à forma original
, obtemos
Interpretação rápida: a derivada de
é proporcional à própria função
, com fator de proporcionalidade
.
Passo 6
Para fixar a ideia, alguns exemplos numéricos rápidos:
- Em
: . - Em
: .
Esses valores mostram que a taxa de variação em cada ponto é a função original multiplicada por.