Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções, usando as regras de derivação:
f(x)=5^{x}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=5^{x} e pede para calcular a derivada dessa função. Informações relevantes que temos:
  • A função é uma exponencial com base 5 (base constante) e expoente x (variável).
  • Não há outros dados: só é pedido f'(x).

Passo 2

Uma técnica padrão e muito útil para derivar a^{x} (com a>0 constante) é reescrever a função usando a exponencial natural. Vamos usar a identidade
a^{x}=e^{x\ln a},
onde \ln a é o logaritmo natural de a. Aqui:
  • e é a base dos logaritmos naturais (constante),
  • \ln a é um número fixo quando a é dado (no nosso caso \ln 5 é uma constante).
Aplicando essa ideia à nossa função:
f(x)=5^{x}=e^{x\ln 5}.

Passo 3

Agora precisamos da regra de diferenciação para e^{u(x)}. A regra (cadeia) diz:
\frac{d}{dx}e^{u(x)}=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Explicando de forma bem simples:
  • u(x) é qualquer função de x;
  • u'(x) é a derivada dessa função u;
  • a derivada de e^{u(x)} é a própria função e^{u(x)} multiplicada pela derivada de u(x) (isso é a regra da cadeia aplicada à exponencial).

Passo 4

Identificamos em f(x)=e^{x\ln 5} a função interior
u(x)=x\ln 5.
Agora calculamos u'(x). Como \ln 5 é uma constante, a derivada de x\ln 5 em relação a x é simplesmente essa constante:
u'(x)=\ln 5.
(Isto vem da regra de que \dfrac{d}{dx}(c\cdot x)=c quando c é constante.)

Passo 5

Aplicando a regra do Passo 3:
f'(x)=\frac{d}{dx}e^{x\ln 5}=e^{x\ln 5}\cdot (\ln 5).
Voltando à forma original 5^{x}=e^{x\ln 5}, obtemos
f'(x)=5^{x}\ln 5.
Interpretação rápida: a derivada de 5^{x} é proporcional à própria função 5^{x}, com fator de proporcionalidade \ln 5.

Passo 6

Para fixar a ideia, alguns exemplos numéricos rápidos:
  • Em x=0: f'(0)=5^{0}\ln 5=1\cdot\ln 5=\ln 5\approx 1,609438.
  • Em x=1: f'(1)=5^{1}\ln 5=5\ln 5\approx 8,04719.
    Esses valores mostram que a taxa de variação em cada ponto é a função original multiplicada por \ln 5.

Resposta

f'(x)=5^{x}\ln 5

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