O enunciado pede para calcular a derivada de \cos(x).
Informações dadas:
A função é f(x)=\cos(x).
O objetivo é encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.
Passo 2
Definição de derivada (a ferramenta que vamos usar): a derivada de uma função f num ponto x é o limite da diferença incrementada dividido pelo incremento, isto é,
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui h é um pequeno incremento em x. A ideia é ver a inclinação da reta secante entre x e x+h quando h tende a zero — isso vira a inclinação da reta tangente.
Passo 3
Aplicando a definição para f(x)=\cos(x):
\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}.
Para manipular essa expressão usamos a fórmula trigonométrica da soma:
Observe que \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\sin(h/2)}{h/2}=1 (pela propriedade do passo anterior) e que \displaystyle\frac{(h/2)^2}{h}=\frac{h}{4}\to0 quando h\to0. Portanto o produto tende a 0, ou seja,
\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0.
Passo 7
Voltando ao limite da derivada:
f'(x)=\cos x\cdot 0 - \sin x\cdot 1 = -\sin x.
Interpretação rápida: a taxa de variação instantânea de \cos(x) é -\sin(x). Pode conferir com alguns valores: em x=0 temos f'(0)=-\sin(0)=0 (máximo horizontal), em x=\tfrac{\pi}{2} temos f'\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-1 (a declividade negativa).