1. Calcule a derivada de \cos (x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de \cos(x).
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\cos(x).
  • O objetivo é encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Definição de derivada (a ferramenta que vamos usar): a derivada de uma função f num ponto x é o limite da diferença incrementada dividido pelo incremento, isto é,
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui h é um pequeno incremento em x. A ideia é ver a inclinação da reta secante entre x e x+h quando h tende a zero — isso vira a inclinação da reta tangente.

Passo 3

Aplicando a definição para f(x)=\cos(x):
\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}.
Para manipular essa expressão usamos a fórmula trigonométrica da soma:
\cos(x+h)=\cos x\cos h-\sin x\sin h.
Substituindo na diferença:
\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h} = \frac{\cos x\cos h-\sin x\sin h-\cos x}{h}.

Passo 4

Agrupando termos por \cos x e \sin x:
\frac{\cos x(\cos h-1)-\sin x\sin h}{h} = \cos x\cdot\frac{\cos h-1}{h} -\sin x\cdot\frac{\sin h}{h}.
Agora vamos tomar o limite h\to0 dessa expressão. Pela linearidade do limite:
\lim_{h\to0}\left(\cos x\cdot\frac{\cos h-1}{h}-\sin x\cdot\frac{\sin h}{h}\right) = \cos x\cdot\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h} -\sin x\cdot\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}.

Passo 5

Avaliar \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}.
Propriedade clássica (prova geométrica por squeezed theorem): para 0<h<\tfrac{\pi}{2} vale
\sin h < h < \tan h.
Dividindo tudo por \sin h (positivo nesse intervalo) obtém-se
1 < \frac{h}{\sin h} < \frac{1}{\cos h}.
Invertemos e, passando ao limite h\to0^+, usando \cos h\to1, conclui-se que
\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1.
Para h\to0^- a razão é a mesma (porque \sin é ímpar), portanto o limite bilateral é 1.

Passo 6

Avaliar \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}.
Usamos a identidade trigonométrica
\cos h-1=-2\sin^2\!\left(\frac{h}{2}\right).
Então
\frac{\cos h-1}{h} = -2\cdot\frac{\sin^2\!\left(\dfrac{h}{2}\right)}{h} = -2\left(\frac{\sin\!\left(\dfrac{h}{2}\right)}{\dfrac{h}{2}}\right)^2\cdot\frac{(h/2)^2}{h}.
Observe que \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\sin(h/2)}{h/2}=1 (pela propriedade do passo anterior) e que \displaystyle\frac{(h/2)^2}{h}=\frac{h}{4}\to0 quando h\to0. Portanto o produto tende a 0, ou seja,
\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0.

Passo 7

Voltando ao limite da derivada:
f'(x)=\cos x\cdot 0 - \sin x\cdot 1 = -\sin x.
Interpretação rápida: a taxa de variação instantânea de \cos(x) é -\sin(x). Pode conferir com alguns valores: em x=0 temos f'(0)=-\sin(0)=0 (máximo horizontal), em x=\tfrac{\pi}{2} temos f'\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-1 (a declividade negativa).

Resposta

\dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x)

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