Calcule a derivada da curva dada por:
A. { }^{0} \quad \vec{R}(t)=\left(\frac{2 t+5}{t+1}\right) \vec{i}+\operatorname{sen}\left(1+t^{2}\right) \vec{j}+t^{2 \pi} \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da curva vetorial
\vec{R}(t)=\left(\frac{2t+5}{t+1}\right)\vec{i}+\sin\bigl(1+t^{2}\bigr)\vec{j}+t^{2\pi}\vec{k}.
O conteúdo é a derivada de função vetorial, aplicando regra do quociente, regra da cadeia e regra do poder para cada componente.

Passo 2

Derivamos a componente em \vec{i}, f(t)=\frac{2t+5}{t+1}, usando a regra do quociente:
f'(t) =\frac{(2)(t+1)-(2t+5)(1)}{(t+1)^{2}} =\frac{2t+2-2t-5}{(t+1)^{2}} =\frac{-3}{(t+1)^{2}}.

Passo 3

Derivamos a componente em \vec{j}, g(t)=\sin\bigl(1+t^{2}\bigr), usando regra da cadeia:
g'(t) =\cos\bigl(1+t^{2}\bigr)\cdot\frac{d}{dt}(1+t^{2}) =2t\cos\bigl(1+t^{2}\bigr).

Passo 4

Derivamos a componente em \vec{k}, h(t)=t^{2\pi}, usando regra do poder com expoente constante:
h'(t) =2\pi\,t^{2\pi-1}.

Resposta

\vec{R}'(t) =\frac{-3}{(t+1)^{2}}\,\vec{i} +2t\cos\bigl(1+t^{2}\bigr)\,\vec{j} +2\pi\,t^{2\pi-1}\,\vec{k}.

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