Determine as derivadas parciais das seguintes funçös
(a) f(x, y)=x^{3} y^{2}+y \cos (x y)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{3}y^{2}+y\cos(xy)
e pede as derivadas parciais \partial f/\partial x e \partial f/\partial y. Para isso vamos usar as regras de derivação: derivada de potência, regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} tratamos y como constante.
  1. Em x^{3}y^{2}, a derivada em relação a x é
3x^{2}y^{2}.
  1. Em y\cos(xy), usamos produto y\cdot\cos(xy). A derivada de y (constante) é zero e de \cos(xy) é -\sin(xy) vezes \frac{d}{dx}(xy)=y. Logo
\frac{d}{dx}\bigl[y\cos(xy)\bigr] =y\bigl[-\sin(xy)\bigr]\cdot y =-y^{2}\sin(xy).
Somando os dois resultados,
\frac{\partial f}{\partial x} =3x^{2}y^{2}-y^{2}\sin(xy).

Passo 3

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} tratamos x como constante.
  1. Em x^{3}y^{2}, a derivada em relação a y é
2x^{3}y.
  1. Em y\cos(xy), aplicamos produto entre y e \cos(xy):
  • Derivada de y é 1, multiplicada por \cos(xy) \cos(xy).
  • Mais y vezes derivada de \cos(xy), ou seja -\sin(xy) vezes \frac{d}{dy}(xy)=x, resultando em -x\,y\sin(xy).
    Somando,
\frac{d}{dy}\bigl[y\cos(xy)\bigr] =\cos(xy)-x\,y\sin(xy).
Portanto,
\frac{\partial f}{\partial y} =2x^{3}y+\cos(xy)-x\,y\sin(xy).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}y^{2}-y^{2}\sin(xy) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=2x^{3}y+\cos(xy)-x\,y\sin(xy)

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