Calcule a derivada da curva dada por
\vec{R}(t)=\left(\frac{t^{2}-3}{t+2}\right) \vec{i}+\ln \left(1+t^{4}\right) \vec{j}+e^{t} \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função vetor
\vec{R}(t)=\left(\frac{t^{2}-3}{t+2}\right)\vec{i}+\ln\bigl(1+t^{4}\bigr)\,\vec{j}+e^{t}\,\vec{k}.
O conteúdo da matéria envolve derivadas de funções escalares e aplicação de regras de derivação: a regra do quociente para a componente em \vec{i}, a regra da cadeia para o logaritmo em \vec{j} e a derivada da exponencial em \vec{k}.

Passo 2

Vamos calcular a derivada da componente em \vec{i}, que é
x(t)=\frac{t^{2}-3}{t+2}.
Aplicando a regra do quociente (se u=t^2-3 e v=t+2, então \displaystyle x'=\frac{u'v-uv'}{v^2}) temos
u'=2t,\quad v'=1,
x'(t) =\frac{(2t)(t+2)-(t^2-3)\cdot1}{(t+2)^2} =\frac{2t^2+4t -t^2+3}{(t+2)^2} =\frac{t^2+4t+3}{(t+2)^2}.

Passo 3

Para a componente em \vec{j}, que é
y(t)=\ln\bigl(1+t^{4}\bigr),
usamos a regra da cadeia: \displaystyle y'=\frac{1}{1+t^4}\cdot\bigl(4t^3\bigr).
Logo,
y'(t)=\frac{4t^3}{1+t^4}.

Passo 4

Para a componente em \vec{k}, que é
z(t)=e^{t},
sabemos que a derivada da exponencial é ela mesma. Portanto,
z'(t)=e^{t}.

Resposta

A derivada da curva é
\vec{R}\,'(t) =\frac{t^2+4t+3}{(t+2)^2}\,\vec{i} +\frac{4t^3}{1+t^4}\,\vec{j} +e^{t}\,\vec{k}.

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