Determine o conjunto dos pontos de descontinuidade da função dada:
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de descontinuidade da função
f(x,y)= \begin{cases} \displaystyle \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[1em] 0,&\text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
O conteúdo é continuidade de funções de duas variáveis e uso de limites direcional para verificar continuidade.]

Passo 2

Para qualquer ponto (x_{0},y_{0})\neq(0,0), tanto o numerador x^{2}-y^{2} quanto o denominador x^{2}+y^{2} são polinômios contínuos, e x_{0}^{2}+y_{0}^{2}\neq0. Logo, a razão
\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
é composição de funções contínuas com denominador não nulo, portanto contínua em todo \R^{2}\setminus\{(0,0)\}.

Passo 3

Resta verificar a continuidade em (0,0). Temos f(0,0)=0. Se o limite em (0,0) existir e for zero, a função é contínua ali; caso contrário, é descontínua. Vamos a dois caminhos:
  1. Pela reta y=0:
f(x,0)=\frac{x^{2}-0}{x^{2}+0}=1 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{(x,0)\to(0,0)}f(x,0)=1.
  1. Pela reta x=0:
f(0,y)=\frac{0-y^{2}}{0+y^{2}}=-1 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{(0,y)\to(0,0)}f(0,y)=-1.
Como os limites ao longo de duas direções diferentes são 1 e -1, o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) não existe. Portanto, f é descontínua em (0,0).

Resposta

O conjunto dos pontos de descontinuidade é \{(0,0)\}.

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