Calcule a derivada direcional, caso exista, das seguintes funções:
F(x, y)=x^{2} y, no ponto (1,1) com \vec{u}=(1,1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
F(x,y)=x^2y
no ponto (1,1) ao longo do vetor \mathbf{u}=(1,1). O conteúdo é derivada direcional usando gradiente e normalização de vetor.

Passo 2

Calculemos o gradiente de F. Por definição,
\nabla F(x,y) = \Bigl(\frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}\Bigr).
Aqui
\frac{\partial F}{\partial x} = 2xy, \quad \frac{\partial F}{\partial y} = x^2,
logo
\nabla F(x,y) = (2xy,\,x^2).

Passo 3

Avalie o gradiente em (1,1):
\nabla F(1,1) = (2\cdot1\cdot1,\,1^2) = (2,1).
Em seguida normalizamos \mathbf{u}. Temos
\|\mathbf{u}\| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}, \quad \hat{\mathbf{u}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1) = \Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr).

Passo 4

A derivada direcional é o produto escalar entre \nabla F(1,1) e \hat{\mathbf{u}}:
D_{\hat{\mathbf{u}}}F(1,1) = (2,1)\cdot\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr) = \frac{2+1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}}

Exercícios relacionados