Calcule a integral indefinida:
\int \cos x \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{sen} x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \cos x \,\tan\bigl(\sin x\bigr)\,dx.
Como vemos um \cos x\,dx junto de uma função de \sin x, a técnica natural aqui é uma substituição do tipo u=\sin x.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = \sin x, \quad du = \cos x\,dx,
a integral original se transforma em
\int \cos x \,\tan\bigl(\sin x\bigr)\,dx = \int \tan(u)\,du.

Passo 3

Para integrar \tan(u), lembramos que
\tan(u) = \frac{\sin(u)}{\cos(u)}
e que
\int \tan(u)\,du = -\ln\bigl|\cos(u)\bigr| + C.

Passo 4

Voltando à variável original x (isto é, u=\sin x), obtemos
-\ln\bigl|\cos(\sin x)\bigr| + C.

Resposta

-\ln\bigl|\cos(\sin x)\bigr| + C

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