Calcule a derivada direcional de f(x, y)=x^2+y^2 na direção (2,2).

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada direcional da função na direção do vetor . Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, onde a gente analisa como a função muda em diferentes direções. Para resolver isso, vamos precisar encontrar o gradiente da função e normalizar o vetor direção.

Passo 2

Primeiro, a derivada direcional nos mostra a taxa de variação da função em uma direção específica. Para isso, precisamos transformar o vetor direção em um vetor unitário, que tem comprimento 1. Isso ajuda a padronizar a direção para facilitar os cálculos.

Passo 3

Vamos calcular o comprimento (ou norma) do vetor | u | = raiz2^2 + 2^2 = raiz4 + 4 = raiz8 = 2raiz2 :
u = ( 22raiz2, 22raiz2 ) = ( 1raiz2, 1raiz2 )
Agora, normalizamos o vetor dividindo cada componente pelo comprimento:

Passo 4

Em seguida, encontramos o gradiente da função nabla f(x, y) = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) = (2x, 2y) . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e suas componentes são as derivadas parciais:

Passo 5

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente da função e o vetor unitário na direção escolhida:
Du f = nabla f cdot u = (2x, 2y) cdot ( 1raiz2, 1raiz2 ) = 2xraiz2 + 2yraiz2 = raiz2(x + y)

Resposta

A derivada direcional de na direção é .

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