Calcule a derivada direcional de f(x, y)=x y no ponto (1,3) na direção do vetor \vec{v}=(1,2).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=xy no ponto (1,3) na direção do vetor \vec{v}=(1,2).
Informações dadas:
  • A função: f(x,y)=x y.
  • O ponto onde queremos a derivada direcional: (1,3).
  • O vetor de direção (não necessariamente unitário): \vec{v}=(1,2).
O que é pedido:
  • Calcular a derivada direcional de f em (1,3) na direção de \vec{v}.

Passo 2

Definição e ideia útil para calcular:
  • A derivada direcional de f no ponto a=(x_0,y_0) na direção do vetor unitário \vec{u} é a taxa de variação de f quando nos movemos em linha reta a partir de a na direção de \vec{u}. Uma definição por limite é
D_{\vec{u}}f(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h\vec{u})-f(a)}{h}.
  • Quando f é diferenciável (caso comum para funções polinomiais como xy), existe uma forma muito prática usando o gradiente:
D_{\vec{u}}f(a)=\nabla f(a)\cdot \vec{u},
onde \nabla f é o vetor gradiente e \cdot é o produto escalar (dot product). Aqui \vec{u} precisa ser unitário (ter norma 1). Se o vetor dado \vec{v} não for unitário, primeiro normaliza-se: \vec{u}=\dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}.
Explicando as peças:
  • \nabla f(a)=(f_x(a),f_y(a)), com f_x e f_y as derivadas parciais.
  • O produto escalar de (a_1,a_2) com (b_1,b_2) é a_1b_1+a_2b_2.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x y:
  • A derivada parcial em relação a x é
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(x y)=y,
porque y é tratado como constante.
  • A derivada parcial em relação a y é
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(x y)=x,
porque x é tratado como constante.
Avaliar o gradiente no ponto (1,3):
\nabla f(1,3)=(f_x(1,3),f_y(1,3))=(3,1).

Passo 4

Normalizar o vetor de direção \vec{v}=(1,2):
  • Norma de \vec{v}:
\|\vec{v}\|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.
  • Vetor unitário na direção de \vec{v}:
\vec{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\left(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right).

Passo 5

Calcular a derivada direcional usando o produto escalar:
D_{\vec{u}}f(1,3)=\nabla f(1,3)\cdot \vec{u}=(3,1)\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right).
Fazendo o produto escalar:
D_{\vec{u}}f(1,3)=3\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}+1\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{3+2}{\sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{5}}.
Simplificando:
\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}.

Passo 6

Interpretação rápida (para te motivar): o valor \sqrt{5} significa que, ao partir do ponto (1,3) e mover-se uma pequena distância unitária na direção (1,2), a função f(x,y)=xy aumenta aproximadamente por \sqrt{5} unidades. Vai dar tudo certo na prova — essa técnica de gradiente + normalização é padrão e rápida de aplicar.

Resposta

\sqrt{5}

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