Calcule a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
.
Informações dadas:
- A função:
. - O ponto onde queremos a derivada direcional:
. - O vetor de direção (não necessariamente unitário):
.
O que é pedido:
- Calcular a derivada direcional de
em na direção de .
Passo 2
Definição e ideia útil para calcular:
- A derivada direcional de
no ponto na direção do vetor unitário é a taxa de variação de quando nos movemos em linha reta a partir de na direção de . Uma definição por limite é
- Quando
é diferenciável (caso comum para funções polinomiais como ), existe uma forma muito prática usando o gradiente:
onde
é o vetor gradiente e
é o produto escalar (dot product). Aqui
precisa ser unitário (ter norma 1). Se o vetor dado
não for unitário, primeiro normaliza-se:
.
Explicando as peças:
-
, com e as derivadas parciais. - O produto escalar de
com é .
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
:
- A derivada parcial em relação a
é
porque
é tratado como constante.
- A derivada parcial em relação a
é
porque
é tratado como constante.
Avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 4
Normalizar o vetor de direção
:
- Norma de
:
- Vetor unitário na direção de
:
Passo 5
Calcular a derivada direcional usando o produto escalar:
Fazendo o produto escalar:
Simplificando:
Passo 6
Interpretação rápida (para te motivar): o valor
significa que, ao partir do ponto
e mover-se uma pequena distância unitária na direção
, a função
aumenta aproximadamente por
unidades. Vai dar tudo certo na prova — essa técnica de gradiente + normalização é padrão e rápida de aplicar.