Formulas de Frenet: Use as definições dos vetores do triedro para derivar o sistema de equações diferenciais:
\left\{\begin{array}{l} \mathbf{T}^{\prime}=\kappa \mathbf{N} \\\ \mathbf{N}^{\prime}=-\kappa \mathbf{T}+\tau \mathbf{B} \\\ \mathbf{B}^{\prime}=-\tau \mathbf{N} \end{array}\right.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele nos dá.
  • Pede: usar as definições dos vetores do triedro (tangente, normal e binormal) para derivar o sistema de equações diferenciais
\left\{\begin{array}{l} \mathbf{T}^{\prime}=\kappa \mathbf{N} \\\ \mathbf{N}^{\prime}=-\kappa \mathbf{T}+\tau \mathbf{B} \\\ \mathbf{B}^{\prime}=-\tau \mathbf{N} \end{array}\right.
  • Informações que vou usar (definições dadas pelo enunciado, assumidas como padrão):
    • Existe uma curva suave parametrizada pelo comprimento de arco s: \mathbf{r}=\mathbf{r}(s). Parametrização por comprimento de arco significa que \bigl\lVert \mathbf{r}'(s)\bigr\rVert=1 para todo s.
    • O vetor tangente unitário é \mathbf{T}(s)=\mathbf{r}'(s).
    • A curvatura \kappa(s) e a normal principal \mathbf{N}(s) são definidas por \kappa(s)=\bigl\lVert \mathbf{T}'(s)\bigr\rVert e, quando \kappa>0, \mathbf{N}(s)=\frac{\mathbf{T}'(s)}{\kappa(s)}.
    • O binormal é \mathbf{B}(s)=\mathbf{T}(s)\times\mathbf{N}(s).
    • Atribuir que \{\mathbf{T},\mathbf{N},\mathbf{B}\} é um sistema ortonormal à direita quando definido (isto é, cada vetor tem norma 1 e são mutuamente ortogonais).

Passo 2

Derivar a primeira fórmula \mathbf{T}'=\kappa\mathbf{N}.
  • Como \mathbf{T}(s) é unitário, vale \bigl\langle \mathbf{T},\mathbf{T}\bigr\rangle =1.Diferenciando em relação a s obtemos 2\bigl\langle \mathbf{T},\mathbf{T}'\bigr\rangle =0,portanto \bigl\langle \mathbf{T},\mathbf{T}'\bigr\rangle =0.Isso significa que \mathbf{T}'(s) é ortogonal a \mathbf{T}(s).
  • Definição de curvatura: \kappa(s)=\bigl\lVert \mathbf{T}'(s)\bigr\rVert. Se \kappa(s)>0, podemos definir a normal principal como \mathbf{N}(s)=\frac{\mathbf{T}'(s)}{\kappa(s)}.Reescrevendo, obtemos diretamente \mathbf{T}'(s)=\kappa(s)\,\mathbf{N}(s).
  • Comentário didático: a motivação é simples — a derivada do vetor tangente aponta para onde a direção da curva está mudando; a magnitude dessa mudança é a curvatura \kappa e a direção dessa mudança, normalizada, é \mathbf{N}.

Passo 3

Expressar \mathbf{N}' como combinação linear da base \{\mathbf{T},\mathbf{N},\mathbf{B}\} e determinar os coeficientes.
  • Como \{\mathbf{T},\mathbf{N},\mathbf{B}\} é base ortonormal, existe escalares a,b,c tais que \mathbf{N}'(s)=a(s)\,\mathbf{T}(s)+b(s)\,\mathbf{N}(s)+c(s)\,\mathbf{B}(s).Vamos encontrar a,b,c.
  • Determinar b. Use \bigl\langle \mathbf{N},\mathbf{N}\bigr\rangle=1. Diferenciando: 2\bigl\langle \mathbf{N},\mathbf{N}'\bigr\rangle =0\quad\Rightarrow\quad \bigl\langle \mathbf{N},\mathbf{N}'\bigr\rangle =0.Pelo desenvolvimento da combinação linear, \bigl\langle \mathbf{N},\mathbf{N}'\bigr\rangle = b. Logo b=0.
  • Determinar a. Use \bigl\langle \mathbf{T},\mathbf{N}\bigr\rangle =0. Diferenciando: \bigl\langle \mathbf{T}',\mathbf{N}\bigr\rangle + \bigl\langle \mathbf{T},\mathbf{N}'\bigr\rangle =0.Substitua \mathbf{T}'=\kappa\mathbf{N} na primeira parte: \kappa\bigl\langle \mathbf{N},\mathbf{N}\bigr\rangle + \bigl\langle \mathbf{T},\mathbf{N}'\bigr\rangle =0e como \bigl\langle \mathbf{N},\mathbf{N}\bigr\rangle=1 segue \kappa + \bigl\langle \mathbf{T},\mathbf{N}'\bigr\rangle =0\quad\Rightarrow\quad \bigl\langle \mathbf{T},\mathbf{N}'\bigr\rangle = -\kappa.Pelo desenvolvimento da combinação linear, \bigl\langle \mathbf{T},\mathbf{N}'\bigr\rangle = a. Logo a=-\kappa.
  • Determinar c. Defina agora \tau(s):= \bigl\langle \mathbf{N}'(s),\mathbf{B}(s)\bigr\rangle. Então c=\tau. Não é um artifício: essa quantidade é justamente a torsão, que mede quanto o plano osculador gira ao longo da curva. Assim obtemos \mathbf{N}'(s) = -\kappa(s)\,\mathbf{T}(s) + \tau(s)\,\mathbf{B}(s).

Passo 4

Derivar a fórmula para \mathbf{B}' usando \mathbf{B}=\mathbf{T}\times\mathbf{N}.
  • Diferencie \mathbf{B}=\mathbf{T}\times\mathbf{N} em relação a s. Pelo produto vetorial: \mathbf{B}' = \mathbf{T}'\times\mathbf{N} + \mathbf{T}\times\mathbf{N}'.
  • Substitua \mathbf{T}'=\kappa\mathbf{N} e \mathbf{N}'=-\kappa\mathbf{T}+\tau\mathbf{B}: \mathbf{B}' = \kappa\mathbf{N}\times\mathbf{N} + \mathbf{T}\times\bigl(-\kappa\mathbf{T}+\tau\mathbf{B}\bigr).
  • Observações: \mathbf{N}\times\mathbf{N}=\mathbf{0} e \mathbf{T}\times\mathbf{T}=\mathbf{0}. Assim sobra \mathbf{B}' = \tau\,\mathbf{T}\times\mathbf{B}.
  • Usar a identidade vetorial para \mathbf{T}\times\mathbf{B}=\mathbf{T}\times(\mathbf{T}\times\mathbf{N}). Pelo produto triple: \mathbf{T}\times(\mathbf{T}\times\mathbf{N}) = \mathbf{T}\,\bigl\langle\mathbf{T},\mathbf{N}\bigr\rangle - \mathbf{N}\,\bigl\langle\mathbf{T},\mathbf{T}\bigr\rangle.Como \bigl\langle\mathbf{T},\mathbf{N}\bigr\rangle=0 e \bigl\langle\mathbf{T},\mathbf{T}\bigr\rangle=1, segue \mathbf{T}\times\mathbf{B} = -\mathbf{N}.
  • Substituindo em \mathbf{B}': \mathbf{B}' = \tau\,(-\mathbf{N}) = -\tau\,\mathbf{N}.
  • Comentário sobre o sinal de \tau: tomamos \tau=\bigl\langle \mathbf{N}',\mathbf{B}\bigr\rangle. Outra definição equivalente e muito usada é \tau=-\bigl\langle \mathbf{B}',\mathbf{N}\bigr\rangle, que dá o mesmo valor por consistência das equações acima.

Passo 5

Interpretação e recapitulação das peças usadas (sem repetir o sistema final literal).
  • Resumo das definições usadas:
    • Parametrização por comprimento de arco: \bigl\lVert\mathbf{r}'(s)\bigr\rVert=1.
    • \mathbf{T}=\mathbf{r}', \kappa=\bigl\lVert\mathbf{T}'\bigr\rVert, \mathbf{N}=\mathbf{T}'/\kappa, \mathbf{B}=\mathbf{T}\times\mathbf{N}.
    • A partir da ortonormalidade e das derivadas, os coeficientes que aparecem nas derivadas dos vetores do triedro são fixados: a componente na direção de \mathbf{T} vem da condição \bigl\langle\mathbf{T},\mathbf{N}\bigr\rangle=0, a componente na direção de \mathbf{N} é nula por \bigl\langle\mathbf{N},\mathbf{N}\bigr\rangle=1, e a componente na direção de \mathbf{B} é justamente a torsão \tau.
  • Resultado prático: a curvatura \kappa mede a taxa de mudança do vetor tangente (ou seja, quão “curva” é a linha) e a torsão \tau mede a taxa de saída do movimento do osculador do plano (ou seja, quão “não plana” é a linha).

Resposta

\left\{\begin{array}{l} \mathbf{T}^{\prime}=\kappa \mathbf{N} \\[4pt] \mathbf{N}^{\prime}=-\kappa \mathbf{T}+\tau \mathbf{B} \\[4pt] \mathbf{B}^{\prime}=-\tau \mathbf{N} \end{array}\right.]

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