Informações que vou usar (definições dadas pelo enunciado, assumidas como padrão):
Existe uma curva suave parametrizada pelo comprimento de arco s: \mathbf{r}=\mathbf{r}(s). Parametrização por comprimento de arco significa que \bigl\lVert \mathbf{r}'(s)\bigr\rVert=1 para todo s.
O vetor tangente unitário é \mathbf{T}(s)=\mathbf{r}'(s).
A curvatura \kappa(s) e a normal principal \mathbf{N}(s) são definidas por \kappa(s)=\bigl\lVert \mathbf{T}'(s)\bigr\rVert e, quando \kappa>0,\mathbf{N}(s)=\frac{\mathbf{T}'(s)}{\kappa(s)}.
O binormal é \mathbf{B}(s)=\mathbf{T}(s)\times\mathbf{N}(s).
Atribuir que \{\mathbf{T},\mathbf{N},\mathbf{B}\} é um sistema ortonormal à direita quando definido (isto é, cada vetor tem norma 1 e são mutuamente ortogonais).
Passo 2
Derivar a primeira fórmula \mathbf{T}'=\kappa\mathbf{N}.
Como \mathbf{T}(s) é unitário, vale\bigl\langle \mathbf{T},\mathbf{T}\bigr\rangle =1.Diferenciando em relação a s obtemos2\bigl\langle \mathbf{T},\mathbf{T}'\bigr\rangle =0,portanto\bigl\langle \mathbf{T},\mathbf{T}'\bigr\rangle =0.Isso significa que \mathbf{T}'(s) é ortogonal a \mathbf{T}(s).
Definição de curvatura: \kappa(s)=\bigl\lVert \mathbf{T}'(s)\bigr\rVert. Se \kappa(s)>0, podemos definir a normal principal como\mathbf{N}(s)=\frac{\mathbf{T}'(s)}{\kappa(s)}.Reescrevendo, obtemos diretamente\mathbf{T}'(s)=\kappa(s)\,\mathbf{N}(s).
Comentário didático: a motivação é simples — a derivada do vetor tangente aponta para onde a direção da curva está mudando; a magnitude dessa mudança é a curvatura \kappa e a direção dessa mudança, normalizada, é \mathbf{N}.
Passo 3
Expressar \mathbf{N}' como combinação linear da base \{\mathbf{T},\mathbf{N},\mathbf{B}\} e determinar os coeficientes.
Como \{\mathbf{T},\mathbf{N},\mathbf{B}\} é base ortonormal, existe escalares a,b,c tais que\mathbf{N}'(s)=a(s)\,\mathbf{T}(s)+b(s)\,\mathbf{N}(s)+c(s)\,\mathbf{B}(s).Vamos encontrar a,b,c.
Determinar b. Use \bigl\langle \mathbf{N},\mathbf{N}\bigr\rangle=1. Diferenciando:2\bigl\langle \mathbf{N},\mathbf{N}'\bigr\rangle =0\quad\Rightarrow\quad \bigl\langle \mathbf{N},\mathbf{N}'\bigr\rangle =0.Pelo desenvolvimento da combinação linear, \bigl\langle \mathbf{N},\mathbf{N}'\bigr\rangle = b. Logo b=0.
Determinar a. Use \bigl\langle \mathbf{T},\mathbf{N}\bigr\rangle =0. Diferenciando:\bigl\langle \mathbf{T}',\mathbf{N}\bigr\rangle + \bigl\langle \mathbf{T},\mathbf{N}'\bigr\rangle =0.Substitua \mathbf{T}'=\kappa\mathbf{N} na primeira parte:\kappa\bigl\langle \mathbf{N},\mathbf{N}\bigr\rangle + \bigl\langle \mathbf{T},\mathbf{N}'\bigr\rangle =0e como \bigl\langle \mathbf{N},\mathbf{N}\bigr\rangle=1 segue\kappa + \bigl\langle \mathbf{T},\mathbf{N}'\bigr\rangle =0\quad\Rightarrow\quad \bigl\langle \mathbf{T},\mathbf{N}'\bigr\rangle = -\kappa.Pelo desenvolvimento da combinação linear, \bigl\langle \mathbf{T},\mathbf{N}'\bigr\rangle = a. Logo a=-\kappa.
Determinar c. Defina agora \tau(s):= \bigl\langle \mathbf{N}'(s),\mathbf{B}(s)\bigr\rangle. Então c=\tau. Não é um artifício: essa quantidade é justamente a torsão, que mede quanto o plano osculador gira ao longo da curva. Assim obtemos\mathbf{N}'(s) = -\kappa(s)\,\mathbf{T}(s) + \tau(s)\,\mathbf{B}(s).
Passo 4
Derivar a fórmula para \mathbf{B}' usando \mathbf{B}=\mathbf{T}\times\mathbf{N}.
Diferencie \mathbf{B}=\mathbf{T}\times\mathbf{N} em relação a s. Pelo produto vetorial:\mathbf{B}' = \mathbf{T}'\times\mathbf{N} + \mathbf{T}\times\mathbf{N}'.
Substitua \mathbf{T}'=\kappa\mathbf{N} e \mathbf{N}'=-\kappa\mathbf{T}+\tau\mathbf{B}:\mathbf{B}' = \kappa\mathbf{N}\times\mathbf{N} + \mathbf{T}\times\bigl(-\kappa\mathbf{T}+\tau\mathbf{B}\bigr).
Observações: \mathbf{N}\times\mathbf{N}=\mathbf{0} e \mathbf{T}\times\mathbf{T}=\mathbf{0}. Assim sobra\mathbf{B}' = \tau\,\mathbf{T}\times\mathbf{B}.
Usar a identidade vetorial para \mathbf{T}\times\mathbf{B}=\mathbf{T}\times(\mathbf{T}\times\mathbf{N}). Pelo produto triple:\mathbf{T}\times(\mathbf{T}\times\mathbf{N}) = \mathbf{T}\,\bigl\langle\mathbf{T},\mathbf{N}\bigr\rangle - \mathbf{N}\,\bigl\langle\mathbf{T},\mathbf{T}\bigr\rangle.Como \bigl\langle\mathbf{T},\mathbf{N}\bigr\rangle=0 e \bigl\langle\mathbf{T},\mathbf{T}\bigr\rangle=1, segue\mathbf{T}\times\mathbf{B} = -\mathbf{N}.
Substituindo em \mathbf{B}':\mathbf{B}' = \tau\,(-\mathbf{N}) = -\tau\,\mathbf{N}.
Comentário sobre o sinal de \tau: tomamos \tau=\bigl\langle \mathbf{N}',\mathbf{B}\bigr\rangle. Outra definição equivalente e muito usada é \tau=-\bigl\langle \mathbf{B}',\mathbf{N}\bigr\rangle, que dá o mesmo valor por consistência das equações acima.
Passo 5
Interpretação e recapitulação das peças usadas (sem repetir o sistema final literal).
Resumo das definições usadas:
Parametrização por comprimento de arco: \bigl\lVert\mathbf{r}'(s)\bigr\rVert=1.
A partir da ortonormalidade e das derivadas, os coeficientes que aparecem nas derivadas dos vetores do triedro são fixados: a componente na direção de \mathbf{T} vem da condição \bigl\langle\mathbf{T},\mathbf{N}\bigr\rangle=0, a componente na direção de \mathbf{N} é nula por \bigl\langle\mathbf{N},\mathbf{N}\bigr\rangle=1, e a componente na direção de \mathbf{B} é justamente a torsão \tau.
Resultado prático: a curvatura \kappa mede a taxa de mudança do vetor tangente (ou seja, quão “curva” é a linha) e a torsão \tau mede a taxa de saída do movimento do osculador do plano (ou seja, quão “não plana” é a linha).