Calcule a derivada direcional da função dada, no ponto indicado, segundo a direção do versor \vec{u} do vetor \vec{v}.
f(x, y, z)=\ln \left(1+x^{2}-y^{2}+z^{2}\right) ;(a, b, c)=(-1,1,1); \vec{v}=(1,2,-5).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y,z)=\ln\bigl(1+x^{2}-y^{2}+z^{2}\bigr) no ponto P=(a,b,c)=(-1,1,1) segundo a direção do versor \vec{u} associado ao vetor \vec{v}=(1,2,-5).
Para isso, vamos usar que a derivada direcional de f em P na direção \vec{u} é
D_{\vec{u}}f(P)\;=\;\nabla f(P)\cdot \vec{u},
ou seja, primeiro calculamos o gradiente \nabla f, depois avaliamos em P, e por fim fazemos o produto escalar com \vec{u}.

Passo 2

Vamos obter as derivadas parciais de f. Escrevendo
f(x,y,z)=\ln\bigl(g(x,y,z)\bigr) \quad\text{com}\quad g(x,y,z)=1+x^{2}-y^{2}+z^{2},
pela regra da cadeia temos
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{g(x,y,z)}\cdot\frac{\partial g}{\partial x} =\frac{1}{1+x^{2}-y^{2}+z^{2}}\,(2x),
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{1}{1+x^{2}-y^{2}+z^{2}}\;(-2y),
\frac{\partial f}{\partial z} =\frac{1}{1+x^{2}-y^{2}+z^{2}}\;(2z).
Portanto, o gradiente é
\nabla f(x,y,z) =\Bigl(\frac{2x}{1+x^{2}-y^{2}+z^{2}},\, \frac{-2y}{1+x^{2}-y^{2}+z^{2}},\, \frac{2z}{1+x^{2}-y^{2}+z^{2}}\Bigr).

Passo 3

Agora avaliamos \nabla f em P=(-1,1,1). Primeiro note que
1+(-1)^{2}-1^{2}+1^{2} =1+1-1+1=2.
Logo
\nabla f(-1,1,1) =\Bigl(\frac{2\cdot(-1)}{2},\,\frac{-2\cdot1}{2},\,\frac{2\cdot1}{2}\Bigr) =(-1,\,-1,\,1).

Passo 4

Precisamos do versor \vec{u}=\vec{v}/\|\vec{v}\|. Calculando
\|\vec{v}\|=\sqrt{1^{2}+2^{2}+(-5)^{2}} =\sqrt{1+4+25} =\sqrt{30},
então \displaystyle \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{30}}(1,2,-5).
A derivada direcional é
D_{\vec{u}}f(P) =\nabla f(P)\cdot \vec{u} =\bigl(-1,-1,1\bigr)\cdot \frac{1}{\sqrt{30}}(1,2,-5) =\frac{-1\cdot1 + (-1)\cdot2 + 1\cdot(-5)}{\sqrt{30}} =\frac{-8}{\sqrt{30}}.

Resposta

D_{\vec{u}}f(-1,1,1) = -\frac{8}{\sqrt{30}}.

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