Calcule a derivada direcional da função dada, no ponto indicado, segundo a direção do versor \vec{u} do vetor \vec{v}.
f(x, y, z)=e^{x+y} \cos z+e^{z-x} \operatorname{sen} y ;(a, b, c)=(0,0,0); \vec{v}=(1,-1,2).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y,z)=e^{x+y}\cos z+e^{z-x}\operatorname{sen} y
no ponto (a,b,c)=(0,0,0) segundo a direção do versor \vec u associado a \vec v=(1,-1,2).
Para isso, precisamos (1) obter o gradiente de f, (2) avaliar esse gradiente em (0,0,0) e (3) projetar no versor \vec u (dot product).

Passo 2

Definimos o gradiente por
\nabla f(x,y,z) = \Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\Bigr).
Em seguida, calculamos cada derivada parcial usando regra da cadeia.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x+y}\cos z\bigr) +\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{z-x}\operatorname{sen} y\bigr) =e^{x+y}\cos z -\,e^{z-x}\operatorname{sen} y,
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x+y}\cos z\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{z-x}\operatorname{sen} y\bigr) =e^{x+y}\cos z +e^{z-x}\cos y,
\frac{\partial f}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}\bigl(e^{x+y}\cos z\bigr) +\frac{\partial}{\partial z}\bigl(e^{z-x}\operatorname{sen} y\bigr) =-e^{x+y}\operatorname{sen} z +e^{z-x}\operatorname{sen} y.

Passo 4

Avaliando em (0,0,0), onde e^0=1, \cos0=1, \sen0=0:
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0,0)=1\cdot1-1\cdot0=1,
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0,0)=1\cdot1+1\cdot1=2,
\frac{\partial f}{\partial z}(0,0,0)=-1\cdot0+1\cdot0=0.
Logo
\nabla f(0,0,0)=(1,2,0).

Passo 5

O versor na direção de \vec v=(1,-1,2) é
\vec u=\frac{\vec v}{\|\vec v\|}, \quad \|\vec v\|=\sqrt{1^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{6},
portanto
\vec u=\Bigl(\tfrac1{\sqrt6},-\tfrac1{\sqrt6},\tfrac2{\sqrt6}\Bigr).

Passo 6

A derivada direcional é o produto escalar
D_{\vec u}f(0,0,0) =\nabla f(0,0,0)\cdot\vec u =(1,2,0)\cdot\Bigl(\tfrac1{\sqrt6},-\tfrac1{\sqrt6},\tfrac2{\sqrt6}\Bigr) =\frac{1-2+0}{\sqrt6} =-\frac1{\sqrt6}.

Resposta

-\frac{1}{\sqrt6}.

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