Calcule a derivada direcional da função f(x, y)=x^{2}-y^{2} na direção tangente à curva \alpha(t)=(2 \cos t, \operatorname{sen} t), quando t=\pi / 4, no ponto \alpha(\pi / 4).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=x^2-y^2 no ponto \alpha(\pi/4), na direção tangente à curva \alpha(t)=(2\cos t,\sin t) em t=\pi/4. Para isso, precisamos de (i) vetor tangente \alpha'(t), (ii) seu versor (vetor unitário), (iii) gradiente de f e (iv) produto escalar entre gradiente e versor.

Passo 2

Calcular o vetor tangente geral:
\alpha'(t)=\bigl(-2\sin t,\;\cos t\bigr).

Passo 3

Avaliar em t=\pi/4 e normalizar:
\alpha'(\pi/4)=\bigl(-2\sin(\pi/4),\cos(\pi/4)\bigr) =\bigl(-\sqrt2,\tfrac{\sqrt2}2\bigr).
A norma é
\|\alpha'(\pi/4)\|=\sqrt{(-\sqrt2)^2+(\tfrac{\sqrt2}2)^2} =\sqrt{2+\tfrac12}=\sqrt{\tfrac52}.
Logo o versor tangente é
u=\frac{\alpha'(\pi/4)}{\|\alpha'(\pi/4)\|} =\Bigl(-\tfrac{\sqrt2}{\sqrt{5/2}},\;\tfrac{\sqrt2/2}{\sqrt{5/2}}\Bigr) =\Bigl(-\tfrac{2}{\sqrt5},\;\tfrac{1}{\sqrt5}\Bigr).

Passo 4

Calcular o gradiente de f:
\nabla f(x,y)=(2x,\,-2y).

Passo 5

Avaliar o gradiente em \alpha(\pi/4)=(\sqrt2,\tfrac{\sqrt2}2):
\nabla f(\alpha(\pi/4)) =\bigl(2\sqrt2,\,-2\cdot\tfrac{\sqrt2}2\bigr) =(2\sqrt2,\,-\sqrt2).

Passo 6

A derivada direcional é o produto escalar \nabla f\cdot u:
D_u f =\langle2\sqrt2,\,-\sqrt2\rangle\cdot\Bigl\langle-\tfrac{2}{\sqrt5},\;\tfrac{1}{\sqrt5}\Bigr\rangle =\frac{-4\sqrt2-\sqrt2}{\sqrt5} =-\frac{5\sqrt2}{\sqrt5} =-\sqrt{10}.

Resposta

-\sqrt{10}

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