A temperatura de uma chapa de metal é dada por
. A partir do ponto
, determine:
a. o gradiente da temperatura;
b. a direção em que a temperatura cresce o mais rápido possível, assim como essa taxa;
c. a direção em que a temperatura decresce o mais rápido possível, assim como essa taxa;
d. a direção em que a temperatura não varia;
e. a taxa de variação
, onde
faz um ângulo de
com o eixo
.
a. o gradiente da temperatura;
b. a direção em que a temperatura cresce o mais rápido possível, assim como essa taxa;
c. a direção em que a temperatura decresce o mais rápido possível, assim como essa taxa;
d. a direção em que a temperatura não varia;
e. a taxa de variação
Passo 1
O enunciado dá a temperatura da chapa por
e pede, em
:
a. o gradiente ;
b. direção de crescimento máximo e essa taxa;
c. direção de decrescimento máximo e essa taxa;
d. direção de variação nula;
e. a derivada direcional em que faz
com o eixo
.
a. o gradiente
b. direção de crescimento máximo e essa taxa;
c. direção de decrescimento máximo e essa taxa;
d. direção de variação nula;
e. a derivada direcional em
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 3
Em
temos
,
,
.
Logo
Logo
Portanto
Passo 4
A direção de máximo crescimento é a direção de
. A taxa máxima é o comprimento de
:
O versor correspondente é
Passo 5
A direção de decrescimento máximo é o sentido oposto a
. A taxa é
Passo 6
As direções de variação nula são os vetores ortogonais a
. Um exemplo de versor ortogonal é
pois ele satisfaz
.
Passo 7
O versor que faz
com o eixo
é
A derivada direcional é
Resposta
a.
.
b. Direção de crescimento máximo , taxa
.
c. Direção de decrescimento máximo: o oposto do versor em (b), taxa .
d. Qualquer versor ortogonal a , por exemplo
e.
b. Direção de crescimento máximo
c. Direção de decrescimento máximo: o oposto do versor em (b), taxa
d. Qualquer versor ortogonal a
e.