A temperatura de uma chapa de metal é dada por T(x, y)= e^{x / 2} \cos (\pi y / 3). A partir do ponto (0,1), determine:
a. o gradiente da temperatura;
b. a direção em que a temperatura cresce o mais rápido possível, assim como essa taxa;
c. a direção em que a temperatura decresce o mais rápido possível, assim como essa taxa;
d. a direção em que a temperatura não varia;
e. a taxa de variação \frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(0,1), onde \vec{u} faz um ângulo de 60^{\circ} com o eixo O x.

Passo 1

O enunciado dá a temperatura da chapa por
T(x,y)=e^{x/2}\cos\Bigl(\frac{\pi y}{3}\Bigr)
e pede, em (0,1):
a. o gradiente \nabla T;
b. direção de crescimento máximo e essa taxa;
c. direção de decrescimento máximo e essa taxa;
d. direção de variação nula;
e. a derivada direcional em \vec u que faz 60^\circ com o eixo Ox.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
T_x(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(e^{x/2}\cos\!\bigl(\tfrac{\pi y}{3}\bigr)\Bigr) =\frac12\,e^{x/2}\cos\!\bigl(\tfrac{\pi y}{3}\bigr),
T_y(x,y) =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(e^{x/2}\cos\!\bigl(\tfrac{\pi y}{3}\bigr)\Bigr) =e^{x/2}\bigl(-\sin\!\tfrac{\pi y}{3}\bigr)\cdot\frac{\pi}{3} =-\frac{\pi}{3}\,e^{x/2}\sin\!\bigl(\tfrac{\pi y}{3}\bigr).

Passo 3

Em (0,1) temos e^{0/2}=1, \cos(\pi/3)=\tfrac12, \sin(\pi/3)=\tfrac{\sqrt3}{2}.
Logo
T_x(0,1)=\frac12\cdot1\cdot\frac12=\frac14, \quad T_y(0,1)=-\frac{\pi}{3}\cdot1\cdot\frac{\sqrt3}{2} =-\frac{\pi\sqrt3}{6}.
Portanto
\nabla T(0,1) =\Bigl\langle \tfrac14,\,-\tfrac{\pi\sqrt3}{6}\Bigr\rangle.

Passo 4

A direção de máximo crescimento é a direção de \nabla T. A taxa máxima é o comprimento de \nabla T:
\|\nabla T(0,1)\| =\sqrt{\Bigl(\tfrac14\Bigr)^2+\Bigl(-\tfrac{\pi\sqrt3}{6}\Bigr)^2} =\sqrt{\frac1{16}+\frac{\pi^2}{12}}.
O versor correspondente é
\frac{\nabla T(0,1)}{\|\nabla T(0,1)\|} =\frac{1}{\sqrt{\frac1{16}+\frac{\pi^2}{12}}} \Bigl\langle \tfrac14,\,-\tfrac{\pi\sqrt3}{6}\Bigr\rangle.

Passo 5

A direção de decrescimento máximo é o sentido oposto a \nabla T. A taxa é
-\|\nabla T(0,1)\| =-\sqrt{\frac1{16}+\frac{\pi^2}{12}}.

Passo 6

As direções de variação nula são os vetores ortogonais a \nabla T(0,1). Um exemplo de versor ortogonal é
\frac{1}{\sqrt{\frac1{16}+\frac{\pi^2}{12}}} \Bigl\langle \tfrac{\pi\sqrt3}{6},\,\tfrac14\Bigr\rangle,
pois ele satisfaz \nabla T(0,1)\cdot\vec u=0.

Passo 7

O versor que faz 60^\circ com o eixo Ox é
\vec u=\bigl\langle \cos60^\circ,\sin60^\circ\bigr\rangle =\Bigl\langle \tfrac12,\;\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr\rangle.
A derivada direcional é
D_{\vec u}T(0,1) =\nabla T(0,1)\cdot\vec u =\frac14\cdot\frac12 +\Bigl(-\frac{\pi\sqrt3}{6}\Bigr)\cdot\frac{\sqrt3}{2} =\frac18-\frac{\pi}{4} =\frac{1-2\pi}{8}.

Resposta

a. \nabla T(0,1)=\bigl\langle \tfrac14,\,-\tfrac{\pi\sqrt3}{6}\bigr\rangle.
b. Direção de crescimento máximo \displaystyle \frac{1}{\sqrt{\frac1{16}+\frac{\pi^2}{12}}}\bigl\langle \tfrac14,\,-\tfrac{\pi\sqrt3}{6}\bigr\rangle, taxa \displaystyle \sqrt{\frac1{16}+\frac{\pi^2}{12}}.
c. Direção de decrescimento máximo: o oposto do versor em (b), taxa \displaystyle -\sqrt{\frac1{16}+\frac{\pi^2}{12}}.
d. Qualquer versor ortogonal a \nabla T(0,1), por exemplo \displaystyle \frac{1}{\sqrt{\frac1{16}+\frac{\pi^2}{12}}}\bigl\langle \tfrac{\pi\sqrt3}{6},\,\tfrac14\bigr\rangle.
e. \displaystyle D_{\vec u}T(0,1)=\frac{1-2\pi}{8}.

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